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# 数学代写|数理逻辑代写Mathematical logic代考|MATH591 Extensions by Definitions

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## 数学代写|数理逻辑代写Mathematical logic代考|Extensions by Definitions

In some of the previous examples we dealt with two axiom systems: the axiom systems $\Phi_{\mathrm{g}}$ and $\Phi_{\text {grp }}$ for group theory (part A), and the axiom systems $\Phi_{\text {ord }}$ and $\Phi_{\text {ord }}^{\prime}$ for orderings (part B).

Usually mathematicians do not work with two or more symbol sets for one and the same theory, but consider a single underlying symbol set which possibly is ex- tended by “defined” symbols. Thus, in group theory one can start with the symbol set $S_{\mathrm{g}}={0}$ and extend it to $S_{\mathrm{grp}}=\left{0,{ }^{-1}, e\right}$ by the defined symbols for the inverse function and the unit element. For orderings one can start with $S={<}$ and extend $S$ to $S^{\prime}={<, \leq}$ by the defined symbol $\leq$. We proceeded in the same way when discussing set theory in Section VII.3; there we extended the symbol set $S={\boldsymbol{\varepsilon}}$ successively by the defined symbols $\boldsymbol{\theta}, \cap, \cup \ldots$ Our goal in this section is to analyze these extensions by definitions. To clarify our intuitive expectation and to explain the idea, we take the transition from $S_{\mathrm{g}}={0}$ to $S_{\mathrm{gr}}={0, e}$ in the example from group theory. We use $x, y, z$ for $v_0, v_1, v_2$.

The starting point is the axiom system $\Phi_{\mathrm{g}} \subseteq L_0^{S_{\mathrm{g}}}$. We notice that the unit element is uniquely determined, namely
$$\Phi_{\mathrm{g}} \models \exists^{=1} x \forall y y \circ x \equiv y$$

## 数学代写|数理逻辑代写Mathematical logic代考|Theorem on Definitions

Theorem on Definitions. Let $\Phi$ be a set of $S$-sentences, $s$ a new symbol, $\delta_s$ an $S$-definition of $s$ in $\Phi$ and I the associated syntactic interpretation of $S \cup{s}$ in $S$. Then:
(a) For all $\varphi \in L_0^S$,
$$\Phi \cup\left{\delta_s\right} \models \varphi \quad \text { iff } \quad \Phi \models \varphi .$$
(b) For all $\chi \in L_0^{S \cup{s}}$,
$$\Phi \cup\left{\delta_s\right} \models \chi \leftrightarrow \chi^I$$
(c) For all $\varphi \in L_0^{S \cup{s}}$,
$$\Phi \cup\left{\delta_s\right}=\varphi \quad \text { iff } \quad \Phi \models \varphi^I .$$
Proof. (a) For the proof of the non-trivial direction, assume that $\Phi \cup\left{\delta_s\right} \models \varphi$, and let $\mathfrak{A}$ be an $S$-structure with $\mathfrak{A}=\Phi$. By $(), \mathfrak{A}^{-I}$ is defined, say $\mathfrak{A}^{-I}=\left(\mathfrak{A}, s^A\right)$. Then by $( )$ it follows that $\left(\mathfrak{A}, s^A\right) \models \Phi \cup\left{\delta_s\right}$, therefore by assumption $\left(\mathfrak{A}, s^A\right) \models \varphi$, and hence $\mathfrak{A} \models \varphi$ by the Coincidence Lemma III.4.6. (b) Let $\chi \in L_0^{S \cup{s}}$ and let $\left(\mathfrak{A}, s^A\right)$ be an $(S \cup{s})$-structure such that $$\left(\mathfrak{A}, s^A\right) \models \Phi \cup\left{\delta_s\right} .$$ By the Theorem $2.2$ on Syntactic Interpretations, the following holds for the structure $\mathfrak{A}^{-1}\left(=\left(\mathfrak{A}, s^A\right) ;\right.$ cf. $\left.( *)\right)$ :
$$\begin{array}{lll} \left(\mathfrak{A}, s^A\right) \models \chi \quad & \text { iff } & \mathfrak{A} \models \chi^I \ & \text { iff } \quad\left(\mathfrak{A}, s^A\right) \models \chi^I \end{array}$$
(c) This easily follows from (a) and (b).

## 数学代写|数理逻辑代写Mathematical logic代考|Extensions by Definitions

$$\Phi_{\mathrm{g}} \models \exists^{-1} x \forall y y \circ x \equiv y$$

## 数学代写|数理逻辑代写Mathematical logic代考|Theorem on Definitions

(a) 对于所有人 $\varphi \in L_0^S$,
\left 的分隔符忤失或无法识别
(b) 对所有人 $\chi \in L_0^{S \cup s}$,
〈left 的分隔符缺失或无法识别
(c) 对所有人 $\varphi \in L_0^{S \cup s}$ ，
\left 的分隔符忤失或无法识别

\left 的分隔符缺失或无法识别

$$\left(\mathfrak{A}, s^A\right) \models \chi \quad \text { iff } \quad \mathfrak{A} \models \chi^I \quad \text { iff } \quad\left(\mathfrak{A}, s^A\right) \models \chi^I$$
(c) 这很容易从 (a) 和 (b) 得出。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。