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# 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|MATH350 Improper Riemann Integrals

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## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Improper Riemann Integrals

In the definition of the Riemann integral of a real-valued function $f$, we required that $f$ be a bounded function defined on a closed and bounded interval $[a, b]$. If these two hypothesis are not satisfied, then the preceding theory does not apply and we have to make some modifications in the definition. In this section, we will briefly consider the changes that are required if the function $f$ is unbounded at some point of its domain, or if the interval on which $f$ is defined is itself unbounded.
Unbounded Functions on Finite Intervals
If $f \in \mathcal{R}[a, b]$ with $|f(x)| \leq M$ for all $x \in[a, b]$, then by Theorem $6.2 .3$ $f \in \mathcal{R}[c, b]$ for every $c \in(a, b)$, and
$$\left|\int_a^b f-\int_c^b f\right|=\left|\int_a^c f\right| \leq \int_a^c|f| \leq M(c-a) .$$
As a consequence, if $f \in \mathcal{R}[a, b]$, then $f \in \mathcal{R}[c, b]$ for every $c \in(a, b)$ and
$$\lim {c \rightarrow a^{+}} \int_c^b f=\int_a^b f .$$ Suppose now that $f$ is a bounded real-valued function defined only on $(a, b]$ with $f \in \mathcal{R}[c, b]$ for every $c \in(a, b)$. If we define $f(a)=0$, then $f$ is a bounded function on $[a, b]$ satisfying $f \in \mathcal{R}[c, b]$ for every $c \in(a, b)$. By Exercise 5 , Section $6.2, f \in \mathcal{R}[a, b]$ with $$\lim {c \rightarrow a^{+}} \int_c^b f=\int_a^b f .$$
Furthermore, by Exercise 3 of Section $6.2$ the answer is independent of how we define $f(a)$.

Using the above as motivation, we extend the definition of the integral to include the case where $f$ becomes unbounded at an endpoint. This extension of the integral is also due to Cauchy.

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Infinite Intervals

We now turn our attention to functions defined on infinite intervals.
DEFINITION 6.4.3 Let $f$ be a real-valued function on $[a, \infty)$ that is Riemann integrable on $[a, c]$ for every $c>a$. The improper Riemann integral of $f$ on $[a, \infty)$, denoted $\int_a^{\infty} f$, is defined to be
$$\int_a^{\infty} f=\lim {c \rightarrow \infty} \int_a^c f$$ provided the limit exists. If the limit exists, then the improper integral is said to be convergent. Otherwise, the improper integral is said to be divergent. If $f$ is a real-valued function defined on $(-\infty, b]$ satisfying $f \in \mathcal{R}[c, b]$ for every $c{-\infty}^b f=\lim {c \rightarrow-\infty} \int_c^b f $$provided the limit exists. If f is defined on (-\infty, \infty), then the improper integral of f is defined as$$ \int{-\infty}^p f+\int_p^{\infty} f $$for some fixed p \in \mathbb{R}, provided that the improper integrals of f on (-\infty, p] and [p, \infty) are both convergent. For a function f defined on (-\infty, \infty), care must be exercised in computing the improper integral of f. It is incorrect to compute$$ \lim {c \rightarrow \infty} \int{-c}^c f . $$For example, if f(x)=x, then$$ \lim {c \rightarrow \infty} \int{-c}^c x d x=\lim {c \rightarrow \infty} \frac{1}{2}\left(c^2-(-c)^2\right)=0 . $$However, the improper integral of f on (-\infty, \infty) is divergent since$$ \int_0^{\infty} f=\lim {c \rightarrow \infty} \int_0^c x d x=\lim _{c \rightarrow \infty} \frac{1}{2} c^2=\infty $$## 实分析代写 ## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Improper Riemann Integrals 在实值函数的黎曼积分的定义中 f ，我们要求 f 是定义在闭有界区间上的有界函数 [a, b]. 如果不满足这两个假设，则前面的理论不 适用，我们必须对定义进行一些修改。在本节中，我们将简要考虑如果函数 f 在其域的某个点上是无界的，或者如果在其上的区间 f 被定义本身就是无界的。 有限区间上的无界函数 If f \in \mathcal{R}[a, b] 和 |f(x)| \leq M 对所有人 x \in[a, b] ，然后由定理6.2.3 f \in \mathcal{R}[c, b] 对于每个 c \in(a, b) ，和$$ \left|\int_a^b f-\int_c^b f\right|=\left|\int_a^c f\right| \leq \int_a^c|f| \leq M(c-a) . $$因此，如果 f \in \mathcal{R}[a, b] ， 然后 f \in \mathcal{R}[c, b] 对于每个 c \in(a, b) 和$$ \lim c \rightarrow a^{+} \int_c^b f=\int_a^b f . $$现在假设 f 是一个有界实值函数，仅定义在 (a, b] 和 f \in \mathcal{R}[c, b] 对于每个 c \in(a, b). 如果我们定义 f(a)=0 ，然后 f 是一个有界 函数 [a, b] 令人满意的 f \in \mathcal{R}[c, b] 对于每个 c \in(a, b). 由练习5部分 6.2, f \in \mathcal{R}[a, b] 和$$ \lim c \rightarrow a^{+} \int_c^b f=\int_a^b f $$此外，通过第 3 节的练习6.2答案与我们如何定义无关 f(a). 以上述为动机，我们扩展积分的定义以包括以下情况 f 在端点处变得无界。积分的这种扩展也是由于柯西。 ## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Infinite Intervals 我们现在将注意力转向在无限区间上定义的函数。 定义 6.4.3 让 f 是 个实值函数 [a, \infty) 这是黎曼可积的 [a, c] 对于每个 c>a. 不正确的黎曼积分 f 上 [a, \infty), 表示 \int_a^{\infty} f ，定义为$$ \int_a^{\infty} f=\lim c \rightarrow \infty \int_a^c f $$只要存在限制。如果极限存在，则称不正确积分是收敛的。否则，称不正确积分是发散的。如果 f 是一个实值函数，定义在 (-\infty, b] 令人满意的 f \in \mathcal{R}[c, b] 对于每个c- \infty^b f=\lim c \rightarrow-\infty \int_c^b fprovidedthelimitexists. IfFisdefinedon(|infty, \infty), thentheimproperintegralofFisdefinedas \int-\infty^p f+\int_p^{\infty} f \$$ 对于一些固定的$p \in \mathbb{R}$，假设不正确的积分$f$上$(-\infty, p]$和$[p, \infty)$都是收敛的。对于一个函数$f$定义于$(-\infty, \infty)$，在计算不正确积 分时必须小心$f$. 计算不正确 $$\lim c \rightarrow \infty \int-c^c f$$ 例奻，如果$f(x)=x$，然后 $$\lim c \rightarrow \infty \int-c^c x d x=\lim c \rightarrow \infty \frac{1}{2}\left(c^2-(-c)^2\right)=0$$ 但是，不正确的积分$f$上$(-\infty, \infty)\$ 是发散的，因为
$$\int_0^{\infty} f=\lim c \rightarrow \infty \int_0^c x d x=\lim _{c \rightarrow \infty} \frac{1}{2} c^2=\infty$$

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