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# 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|MATH331 Square Summable Sequences

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## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Square Summable Sequences

In this section, we introduce the set $\ell^2$ of square summable sequences of real numbers and derive several useful inequalities. This set occurs naturally in the study of Fourier series.

DEFINITION 7.4.1 A sequence $\left{a_k\right}_{k=1}^{\infty}$ of real numbers is said to be in $\ell^2$, or to be square summable, if
$$\sum_{k=1}^{\infty} a_k^2<\infty$$
For $\left{a_k\right} \in \ell^2$ set
$$\left|\left{a_k\right}\right|_2=\sqrt{\sum_{k=1}^{\infty} a_k^2}$$
The set $\ell^2$ is called the space of square summable sequences, and the quantity $\left|\left{a_k\right}\right|_2$ is called the norm of the sequence $\left{a_k\right}$.

Remark. Since a sequence $\left{a_k\right}$ in $\mathbb{R}$ is by definition a function a from $\mathbb{N}$ into $\mathbb{R}$ with $a_k=\mathbf{a}(k)$, it is sometimes convenient to think of $\ell^2$ as the set of all functions a : $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ for which
$$|\mathbf{a}|_2=\sqrt{\sum_{k=1}^{\infty}|\mathbf{a}(k)|^2}<\infty$$

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Cauchy-Schwarz Inequality

Our main goal in this section is to prove the Cauchy-Schwarz inequality for sequences in $\ell^2$. First however we prove the finite version of this inequality.
THEOREM 7.4.3 (Cauchy-Schwarz Inequality) If $n \in \mathbb{N}$ and $a_1, \ldots, a_n$ and $b_1, \ldots, b_n$ are real numbers, then
$$\sum_{k=1}^n\left|a_k b_k\right| \leq \sqrt{\sum_{k=1}^n a_k^2} \sqrt{\sum_{k=1}^n b_k^2}$$
Proof. Let $\lambda \in \mathbb{R}$ and consider
$$0 \leq \sum_{k=1}^n\left(\left|a_k\right|-\lambda\left|b_k\right|\right)^2=\sum_{k=1}^n a_k^2-2 \lambda \sum_{k=1}^n\left|a_k b_k\right|+\lambda^2 \sum_{k=1}^n b_k^2 .$$
The above can be written as
$$0 \leq A-2 \lambda C+\lambda^2 B$$
where $A=\sum_{k=1}^n a_k^2, C=\sum_{k=1}^n\left|a_k b_k\right|$, and $B=\sum_{k=1}^n b_k^2$. If $B=0$, then $b_k=0$ for all $k=1, \ldots, n$ and the Cauchy-Schwarz inequality certainly holds. If $B \neq 0$, we take $\lambda=C / B$ which gives
$$0 \leq A-\frac{C^2}{B}$$

or $C^2 \leq A B ;$ that is,
$$\left(\sum_{k=1}^n\left|a_k b_k\right|\right)^2 \leq\left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k^2\right)$$
Taking the square root of both sides gives the desired result.
As a consequence of the previous result we have the following corollary.

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Square Summable Sequences

$$\sum_{k=1}^{\infty} a_k^2<\infty$$

\left 的分隔符媇失或无法识别

lleft 的分隔符忤夬失或无法识别

$$|\mathbf{a}|2=\sqrt{\sum{k=1}^{\infty}|\mathbf{a}(k)|^2}<\infty$$

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Cauchy-Schwarz Inequality

$$\sum_{k=1}^n\left|a_k b_k\right| \leq \sqrt{\sum_{k=1}^n a_k^2} \sqrt{\sum_{k=1}^n b_k^2}$$

$$0 \leq \sum_{k=1}^n\left(\left|a_k\right|-\lambda\left|b_k\right|\right)^2=\sum_{k=1}^n a_k^2-2 \lambda \sum_{k=1}^n\left|a_k b_k\right|+\lambda^2 \sum_{k=1}^n b_k^2$$

$$0 \leq A-2 \lambda C+\lambda^2 B$$

$$0 \leq A-\frac{C^2}{B}$$

$$\left(\sum_{k=1}^n\left|a_k b_k\right|\right)^2 \leq\left(\sum_{k=1}^n a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^n b_k^2\right)$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。