如果你也在 怎样代写同调代数Homological Algebra MAST90068这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。同调代数Homological Algebra是数学的一个分支，研究一般代数环境中的同源性。它是一门相对年轻的学科，其起源可以追溯到19世纪末的组合拓扑学（代数拓扑学的前身）和抽象代数（模块和共轭理论）的研究，主要是由亨利-庞加莱和大卫-希尔伯特提出。
同调代数Homological Algebra是研究同源漏斗和它们所带来的复杂的代数结构；它的发展与范畴理论的出现紧密地联系在一起。一个核心概念是链复合体，可以通过其同调和同调来研究。它在代数拓扑学中发挥了巨大的作用。它的影响逐渐扩大，目前包括换元代数、代数几何、代数理论、表示理论、数学物理学、算子矩阵、复分析和偏微分方程理论。K理论是一门独立的学科，它借鉴了同调代数的方法，正如阿兰-康尼斯的非交换几何一样。
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数学代写|同调代数代写Homological Algebra代考|Tensor Products
We are going to introduce a fundamental construction, the tensor product, which is absolutely necessary for higher algebra. In particular this is the abstract tool used for induced modules and Mackey’s formula, which in turn are the most important tools in the representation theory of finite groups over an arbitrary field.
Furthermore, tensor products are in some respect counterparts to homomorphisms, in a sense which can be made very precise. The precise formulation is given in Lemma 1.7.9 below, which will play an extremely important role in the subsequent material.
1.7.1 The Definition and Elementary Properties
The first concept to introduce is a free abelian group generated by a set.
Definition 1.7.1 An abelian group $A$ is free on a subset $S$ of $A$ if for every abelian group $B$ and every mapping $\varphi_S: S \longrightarrow B$ (as a set !) there is a unique homomorphism $\varphi: A \longrightarrow B$ such that the restriction $\left.\varphi\right|_S$ of $\varphi$ to $S$ equals $\varphi_S$.
Consider the abelian groups $\left(\mathbb{Z}^n,+\right)$ for any integer $n$. The group $\left(\mathbb{Z}^n,+\right)$ is a free abelian group on the set
$$
{(1,0,0, \ldots, 0),(0,1,0, \ldots, 0), \ldots,(0,0, \ldots, 0,1)}
$$
in the definition below. Indeed, the above set is a basis of $\mathbb{Z}^n$ in the sense that for any abelian group $B$ and any $n$ elements $b_1, b_2, \cdots, b_n$ of $B$ there is a unique homomorphism of abelian groups $\varphi: \mathbb{Z}^n \longrightarrow B$ such that
$$
\begin{gathered}
\varphi(1,0,0, \ldots, 0)=b_1 \
\varphi(0,1,0, \ldots, 0)=b_2 \
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \
\varphi(0,0, \ldots, 0,1)=b_n
\end{gathered}
$$
$\varphi\left(a_1, a_2, \ldots, a_n\right)=\sum_{i=1}^n a_i b_i$ is a group homomorphism and is the unique one with the above properties.
Suppose $A$ is a free abelian group on a set $S_A$, and suppose $B$ is another free abelian group on a set $S_B$. If $S_A$ and $S_B$ are of the same cardinality (i.e. there is a
bijection $\beta: S_A \longrightarrow S_B$ ) then $A$ and $B$ are isomorphic. Indeed, $\beta$ defines a unique homomorphism of groups $\widehat{\beta}: A \longrightarrow B$ restricting to $\beta$ on $S_A$, and $\beta^{-1}$ defines a unique homomorphism of groups $\widehat{\beta^{-1}}: A \longrightarrow B$ restricting to $\beta$ on $S_B$. Now, the identity on $S_A$ is the unique group homomorphism $A \longrightarrow A$ restricting to the identity on $S_A$. But, $\widehat{\beta^{-1}} \circ \widehat{\beta}$ is a group homomorphism restricting to $\beta^{-1} \circ \beta=i d_{S_A}$ on $S_A$. Therefore, by the unicity, $\widehat{\beta^{-1}} \circ \widehat{\beta}=i d_A$. Analogously, $\widehat{\beta} \circ \widehat{\beta^{-1}}=i d_A$. Hence, $\widehat{\beta}$ is an isomorphism.
数学代写|同调代数代写Homological Algebra代考|Immediate Applications for Group Rings
If $E$ is an extension field of $K, A$ is a $K$-algebra and $M$ is an $A$-module, then by Lemma 1.7.12 $E \otimes_K A$ is again an algebra. Moreover, by Lemma 1.7.8 the tensor product $E \otimes_K A$ is an $E$-vector space. The multiplication inside $E \otimes_K A$ implies that the elements $e \otimes 1$ for $e \in E$ are all central, and hence $E \otimes_K A$ is an $E$-algebra. The module $E \otimes_K M$ is an $E \otimes_K A$-module by Lemma 1.7.14. This procedure is called a “change of rings”, meaning change of base rings. We observe that the discussion in Sect. 1.4.3 is precisely a down-to-earth description of this abstract “change of rings”.
The second occasion where tensor products are used is a generalisations of this: induction of modules. We start with the observation that given a commutative ring $R$, an $R$-algebra $A$ and an $R$-subalgebra $B$, the ring $B$ acts on $A$ by right multiplication. In other words, restricting the action of $A$ on the regular right $A$-module $A$ to $B$ gives $A$ the structure of a right $B$-module. Also, $A$ can be regarded as a regular left $A$-module. Both actions commute. That is, $A$ is an $A-B$-bimodule if we define $a \cdot x \cdot b:=a x b$ for all $a, x \in A$ and $b \in B$.
Definition 1.7.20 Let $G$ be a group, let $R$ be a commutative ring and let $H$ be a subgroup of $G$. Then for every $R H$-module $M$ one defines the induced module $M \uparrow \uparrow_H^G$ to be $R G \otimes_{R H} M$ where for all $g \in G$ and all $x \in R G, m \in M$ we define $g \cdot(x \otimes m):=(g x) \otimes m .$
The induced module is of extreme importance in representation theory.
Remark 1.7.21 Tensor products also appear in more sophisticated structures, socalled Hopf-algebras. For a very brief introduction see Sect.6.2.1 or e.g. Montgomery’s book [10]. Group rings are Hopf algebras. For a commutative ring $K$ and a group $G$ as well as two $K G$-modules $M_1$ and $M_2$ we get that $M_1 \otimes_K M_2$ is a also $K G$-module by putting $g \cdot\left(m_1 \otimes m_2\right):=\left(g m_1 \otimes g m_2\right)$ for all $g \in G$ and $m_1 \in M_1$, $m_2 \in M_2$. Indeed, for all $g \in G$ the mapping
$$
\begin{aligned}
g \cdot: M_1 \times M_2 & \longrightarrow M_1 \otimes_K M_2 \
\left(m_1, m_2\right) & \mapsto g m_1 \otimes g m_2
\end{aligned}
$$
is $K$-balanced and so it induces a mapping
$$
\text { g. }: M_1 \otimes_K M_2 \longrightarrow M_1 \otimes_K M_2
$$
$m_1 \otimes m_2 \mapsto g m_1 \otimes g m_2$
which in turn induces a $K$-linear action of $G$ on $M_1 \otimes_K M_2$, since $1_G \cdot=i d_{M_1 \otimes_K M_2}$ and $\left(g_1 g_2\right) \cdot=\left(g_{1^*}\right) \circ\left(g_2 \cdot\right)$ for all $g_1, g_2 \in G$ as is immediately checked.
However, a warning should be given here. Elements $g_1+g_2$ in $K G$ do not act diagonally on $M_1 \otimes_K M_2$. In fact, for $m_1 \in M_1$ and $m_2 \in M_2$ we have
$$
\begin{aligned}
\left(g_1+g_2\right) \cdot\left(m_1 \otimes m_2\right) &=g_1 \cdot\left(m_1 \otimes m_2\right)+g_2 \cdot\left(m_1 \otimes m_2\right) \
&=\left(g_1 m_1 \otimes g_1 m_2\right)+\left(g_2 m_1 \otimes g_2 m_2\right)
\end{aligned}
$$
whereas
$$
\begin{aligned}
\left(g_1+g_2\right) m_1 \otimes\left(g_1+g_2\right) m_2=&\left(g_1 m_1 \otimes g_1 m_2\right)+\left(g_1 m_1 \otimes g_2 m_2\right) \
&+\left(g_2 m_1 \otimes g_1 m_2\right)+\left(g_2 m_1 \otimes g_2 m_2\right) .
\end{aligned}
$$
We now continue to examine induced modules.
同调代数代写
数学代写|同调代数代写同质代数代考|张量积
我们要介绍一个基本的构造，张量积，这对于高等代数是绝对必要的。特别地，这是用于归纳模和麦基公式的抽象工具，它们又是任意场上有限群表示理论中最重要的工具
此外，张量积在某些方面与同态是对应的，在某种意义上可以非常精确。下面的引理1.7.9给出了精确的公式，这将在后续的材料中发挥极其重要的作用
第一个要介绍的概念是集合生成的自由交换群。1.7.1交换群 $A$ 在子集上是免费的 $S$ 的 $A$ 如果对于每个阿贝尔群 $B$ 每一个映射 $\varphi_S: S \longrightarrow B$ (作为一个集合!)有一个独特的同态 $\varphi: A \longrightarrow B$ 这样限制 $\left.\varphi\right|_S$ 的 $\varphi$ 到 $S$ 等号 $\varphi_S$.
考虑任何整数$n$的阿贝尔群$\left(\mathbb{Z}^n,+\right)$。在下面的定义中，群$\left(\mathbb{Z}^n,+\right)$是集合
$$
{(1,0,0, \ldots, 0),(0,1,0, \ldots, 0), \ldots,(0,0, \ldots, 0,1)}
$$
上的一个自由交换群。事实上，上面的集合是$\mathbb{Z}^n$的一个基础，因为对于$B$的任何一个交换群$B$和任何$n$元素$b_1, b_2, \cdots, b_n$，都存在一个唯一的交换群$\varphi: \mathbb{Z}^n \longrightarrow B$同态，这样
$$
\begin{gathered}
\varphi(1,0,0, \ldots, 0)=b_1 \
\varphi(0,1,0, \ldots, 0)=b_2 \
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \
\varphi(0,0, \ldots, 0,1)=b_n
\end{gathered}
$$
$\varphi\left(a_1, a_2, \ldots, a_n\right)=\sum_{i=1}^n a_i b_i$是一个群同态，并且是具有上述性质的唯一的一个
假设$A$是集合$S_A$上的一个自由交换群，并且假设$B$是集合$S_B$上的另一个自由交换群。如果$S_A$和$S_B$具有相同的基数(即存在
双射$\beta: S_A \longrightarrow S_B$)那么$A$和$B$是同构的。的确，$\beta$在$S_A$上定义了限制到$\beta$的组$\widehat{\beta}: A \longrightarrow B$的唯一同态性，而$\beta^{-1}$在$S_B$上定义了限制到$\beta$的组$\widehat{\beta^{-1}}: A \longrightarrow B$的唯一同态性。现在，$S_A$上的恒等式是限制在$S_A$上的恒等式的唯一群同态$A \longrightarrow A$。但是，$\widehat{\beta^{-1}} \circ \widehat{\beta}$是一个群同态，限制在$S_A$上的$\beta^{-1} \circ \beta=i d_{S_A}$。因此，由独一性，$\widehat{\beta^{-1}} \circ \widehat{\beta}=i d_A$。类似地，$\widehat{\beta} \circ \widehat{\beta^{-1}}=i d_A$。因此，$\widehat{\beta}$是一个同构
数学代写|同调代数代写Homological Algebra代考|群环的直接应用
如果$E$是$K, A$的扩展字段，是一个$K$ -代数，$M$是一个$A$ -模块，那么根据引理1.7.12,$E \otimes_K A$也是一个代数。此外，根据引理1.7.8，张量积$E \otimes_K A$是一个$E$ -向量空间。$E \otimes_K A$内部的乘法意味着$e \in E$的元素$e \otimes 1$都是中心的，因此$E \otimes_K A$是一个$E$ -代数。模块$E \otimes_K M$是由Lemma 1.7.14编写的$E \otimes_K A$ -module。这个过程叫做“换环”，意思是换基环。我们注意到，第1.4.3节的讨论正是对这个抽象的“环的变化”的实际描述。第二个使用张量乘积的场合是这个的推广:模块的归纳。我们首先观察到，给定交换环$R$、$R$ -代数$A$和$R$ -子代数$B$，环$B$通过右乘法作用于$A$。换句话说，将常规右$A$ -模块$A$上的$A$的动作限制为$B$，使$A$具有右$B$ -模块的结构。此外，$A$可以被看作是一个常规的左$A$ -module。这两种行为都是可以交换的。也就是说，如果我们为所有$a, x \in A$和$b \in B$定义$a \cdot x \cdot b:=a x b$, $A$就是一个$A-B$ -双模块
定义 $G$ 组成一个小组，让 $R$ 是交换环，让 $H$ 成为…的子组 $G$。那么对于每一个 $R H$-module $M$ 一个定义诱导模 $M \uparrow \uparrow_H^G$ 成为 $R G \otimes_{R H} M$ 在哪里 $g \in G$ 所有的 $x \in R G, m \in M$ 我们定义 $g \cdot(x \otimes m):=(g x) \otimes m .$诱导模在表征理论中是极其重要的。张量积也出现在更复杂的结构中，称为hopf -代数。有关非常简短的介绍，请参阅第6.2.1节或例如蒙哥马利的书[10]。群环是Hopf代数。对于交换环 $K$ 一群人 $G$ 还有两个 $K G$-modules $M_1$ 和 $M_2$ 我们知道了 $M_1 \otimes_K M_2$ 也是 $K G$-module by put $g \cdot\left(m_1 \otimes m_2\right):=\left(g m_1 \otimes g m_2\right)$ 为所有人 $g \in G$ 和 $m_1 \in M_1$， $m_2 \in M_2$。的确，对所有人来说 $g \in G$ 映射
$$
\begin{aligned}
g \cdot: M_1 \times M_2 & \longrightarrow M_1 \otimes_K M_2 \
\left(m_1, m_2\right) & \mapsto g m_1 \otimes g m_2
\end{aligned}
$$
是 $K$-平衡的，因此它诱导映射
$$
\text { g. }: M_1 \otimes_K M_2 \longrightarrow M_1 \otimes_K M_2
$$
$m_1 \otimes m_2 \mapsto g m_1 \otimes g m_2$
，这反过来诱导了$G$对$M_1 \otimes_K M_2$的$K$ -线性动作，因为$1_G \cdot=i d_{M_1 \otimes_K M_2}$和$\left(g_1 g_2\right) \cdot=\left(g_{1^*}\right) \circ\left(g_2 \cdot\right)$对于所有$g_1, g_2 \in G$立即被检查
然而，这里应该给出一个警告。$K G$中的元素$g_1+g_2$不会对角作用于$M_1 \otimes_K M_2$。事实上，对于$m_1 \in M_1$和$m_2 \in M_2$我们有
$$
\begin{aligned}
\left(g_1+g_2\right) \cdot\left(m_1 \otimes m_2\right) &=g_1 \cdot\left(m_1 \otimes m_2\right)+g_2 \cdot\left(m_1 \otimes m_2\right) \
&=\left(g_1 m_1 \otimes g_1 m_2\right)+\left(g_2 m_1 \otimes g_2 m_2\right)
\end{aligned}
$$
而
$$
\begin{aligned}
\left(g_1+g_2\right) m_1 \otimes\left(g_1+g_2\right) m_2=&\left(g_1 m_1 \otimes g_1 m_2\right)+\left(g_1 m_1 \otimes g_2 m_2\right) \
&+\left(g_2 m_1 \otimes g_1 m_2\right)+\left(g_2 m_1 \otimes g_2 m_2\right) .
\end{aligned}
$$
我们现在继续检查诱导模。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。