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# 数学代写|同调代数代写Homological Algebra代考|MA3204 Noetherian and Artinian Objects

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## 数学代写|同调代数代写Homological Algebra代考|Noetherian and Artinian Objects

Being a finite dimensional algebra over a field often is too strong a condition. The appropriate concept is that of a Noetherian or artinian module, which we will introduce now. These concepts are by far less restrictive, but are sufficiently strong to allow the most important results for finite dimensional algebras, at least those properties that are interesting to us.

Definition 1.3.1 Let $K$ be a commutative ring, let $A$ be a $K$-algebra and let $M$ be an $A$-module.

$M$ is said to be Noetherian if, whenever there is a sequence
$$M_1 \subseteq M_2 \subseteq M_3 \subseteq \cdots \subseteq M$$
of $A$-submodules of $M$, then there is an $n_0 \in \mathbb{N}$ such that $M_n=M_{n_0}$ for all $n \geq n_0$.

$M$ is said to be artinian if, whenever there is a sequence
$$M \supseteq M_1 \supseteq M_2 \supseteq M_3 \supseteq \ldots$$
of $A$-submodules of $M$, then there is an $n_0 \in \mathbb{N}$ such that $M_n=M_{n_0}$ for all $n \geq n_0$.

A is said to be left (right) Noetherian if the left (right) regular module is Noetherian.

$A$ is said to be left (right) artinian if the left (right) regular module is artinian.
Of course, if $A$ is an algebra over a field $K$, then any $A$-module of finite dimension as a $K$-vector space is Noetherian and artinian.

Example 1.3.2 The ring of integers $\mathbb{Z}$ is Noetherian since for any ideal $I=n \mathbb{Z}$ of $\mathbb{Z}$, an ideal $J=m \mathbb{Z}$ contains $I$ if and only if $m$ divides $n$. There are only finitely many divisors of $n$, and the statement is proven.
The ring of integers is not artinian, since the sequence of ideals
$$\mathbb{Z} \supseteq 2 \mathbb{Z} \supseteq 4 \mathbb{Z} \supseteq 8 \mathbb{Z} \supseteq \ldots$$
obviously is not finite.
The properties in the following lemmas are essential and are the reason for the importance of the notions Noetherian and artinian.

## 数学代写|同调代数代写Homological Algebra代考|Wedderburn and Krull-Schmidt

The main reason why Maschke’s result Theorem 1.2.8 is one of the most fundamental in the representation theory of finite groups is that the structure theory of finite dimensional semisimple algebras is known in great detail. We shall now develop this structure.
The Krull-Schmidt Theorem
For the moment we do not know anything about the unicity of a decomposition of a semisimple module into its factors. This is the very important Krull-Schmidt theorem.

It holds more generally, replacing simple modules by indecomposable modules as factors and semisimple algebras by general finite dimensional algebras.

Definition 1.4.1 A non-zero $A$-module $M$ is called indecomposable if whenever $M \simeq N \oplus L$, then either $N=0$ or $L=0$. Modules which are not indecomposable are decomposable.

We have seen that (by definition) semisimple indecomposable modules are simple. In general, however, indecomposable modules need not be simple.

Example 1.4.2 Let $K$ be a field and let $A=K[X] /\left(X^2\right)$ be the so-called ring of dual numbers. $A$ is a $K$-algebra of dimension 2 over $K$, and the regular module is indecomposable but not semisimple. Indeed, the only non-zero proper ideal of $A$ is $X \cdot K[X] /\left(X^2\right)$

## 数学代写|同调代数代写同构代数代考|Noetherian和Artinian Objects

$M$被认为是Noetherian if，当$M$的$A$ -子模块中有一个序列
$$M_1 \subseteq M_2 \subseteq M_3 \subseteq \cdots \subseteq M$$
，那么有一个$n_0 \in \mathbb{N}$，这样$M_n=M_{n_0}$对于所有$n \geq n_0$ .

$M$被认为是artinian if，无论在$M$的$A$ -子模块中有一个序列
$$M \supseteq M_1 \supseteq M_2 \supseteq M_3 \supseteq \ldots$$
，那么就有一个$n_0 \in \mathbb{N}$，这样$M_n=M_{n_0}$对于所有$n \geq n_0$ 如果左(右)正则模块是Noetherian，则A被称为左(右)Noetherian

$A$如果左(右)正则模块是artiinian的，则被称为左(右)artiinian的。当然，如果$A$是$K$字段上的代数，那么任何有限维数为$K$ -向量空间的$A$ -模块都是Noetherian和artinian 例1.3.2整数环$\mathbb{Z}$是Noetherian的，因为对于$\mathbb{Z}$的任意理想$I=n \mathbb{Z}$，当且仅当$m$除$n$时，理想$J=m \mathbb{Z}$包含$I$。$n$的除数是有限的，并且证明了这个说法。由于理想序列
$$\mathbb{Z} \supseteq 2 \mathbb{Z} \supseteq 4 \mathbb{Z} \supseteq 8 \mathbb{Z} \supseteq \ldots$$

## 数学代写|同调代数代写同源代数代考|Wedderburn and Krull-Schmidt

Maschke结果定理1.2.8是有限群表示理论中最基本的定理之一，其主要原因是有限维半单代数的结构理论被非常详细地了解。我们现在将发展这个结构。Krull-Schmidt定理目前我们还不知道半单模分解为其因子的唯一性。这是非常重要的Krull-Schmidt定理， 更一般地，用不可分解模代替简单模作为因子，用一般有限维代数代替半单代数 一个非零的$A$ -模块$M$被称为不可分解的，如果无论何时$M \simeq N \oplus L$，那么$N=0$或$L=0$。不是不可分解的模块是可分解的 我们已经看到(根据定义)半单不可分解模块是简单的。然而，一般情况下，不可分解模块不需要是简单的 例1.4.2设$K$为字段，设$A=K[X] /\left(X^2\right)$为所谓的双数字环。$A$是$K$上2维的$K$ -代数，并且常规模块是不可分解的，但不是半简单的。实际上，$A$的唯一非零固有理想是$X \cdot K[X] /\left(X^2\right)$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。