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# 数学代写|数论代写Number Theory代考|MAST90136 Finiteness of Ramified Primes

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## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Finiteness of Ramified Primes

In this section, we shall prove the following theorem whose converse is also true. The result of the theorem as well as its converse will be proved in a more general set up in Chap. $7 .$

Theorem 4.16 If a rational prime $p$ is ramified in an algebraic number field $K$, then $p$ divides $d_K$.

Proof Let $p$ be a rational prime ramified in $K$ and let $p$ be a prime ideal of $\mathcal{O}_K$ such that $\mathfrak{p}^2$ divides $p \mathcal{O}_K$. Write $p \mathcal{O}_K=\mathfrak{p}^e A$ with $\mathfrak{p}$ not dividing the ideal $A$ of $\mathcal{O}_K$. Let $\left{w_1, \ldots, w_n\right}$ be an integral basis of $K$. Choose $\alpha \in \mathfrak{p}^{e-1} A \backslash \mathfrak{p}^e A$. We can write $\alpha=a_1 w_1+\cdots+a_n w_n, a_i \in \mathbb{Z}$; note that at least one coefficient $a_i$ is not divisible by $p$ because $\alpha \notin p \mathcal{O}_K$. Since $e>1, \alpha^p \in \mathfrak{p}^{(e-1) p} A^p \subseteq \mathfrak{p}^e A=p \mathcal{O}_K$. So using Fermat’s little theorem, we have
$$0 \equiv \alpha^p \equiv\left(a_1 w_1+\cdots+a_n w_n\right)^p \equiv a_1 w_1^p+\cdots+a_n w_n^p\left(\bmod p \mathcal{O}_K\right)$$

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Preliminary Results

Definition Let $R$ be a commutative ring with identity. Let $c$ be a non-zero element of $R$; for $\alpha, \beta \in R$ we say $\alpha$ is congruent to $\beta$ modulo $c$ and write $\alpha \equiv \beta(\bmod c)$ if there exists $\gamma \in R$ such that $\alpha-\beta=c \gamma$. This is an equivalence relation on $R$ and partitions $R$ into a union of equivalence classes called congruence classes modulo $c$.

The following lemma gives information about the congruence classes in $\mathcal{O}_K$ modulo a positive integer $c$.

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。