如果你也在 怎样代写数论Number theory MATH25个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。
数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。
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数学代写|数论代写Number Theory代考|Integral Basis and Discriminant of Cyclotomic Fields
We first find the discriminant and an integral basis of cyclotomic fields generated by $p$ th root of unity for a prime $p$. Recall that if $\zeta$ is a primitive $n$th root of unity, then the degree of the $n$th cyclotomic field $\mathbb{Q}(\zeta)$ over $\mathbb{Q}$ is $\phi(n)$ (cf. Theorem A.40).
Theorem 2.25 Let $\zeta$ be a primitive pth root of unity, p an odd prime. Then ${1, \zeta, \ldots$, $\left.\zeta^{p-2}\right}$ is an integral basis of $K=\mathbb{Q}(\zeta)$ and $d_K=(-1)^{\frac{p-1}{2}} p^{p-2}$.
Proof Let $\Phi(X)$ denote the minimal polynomial of $\zeta$ over $\mathbb{Q}$ of degree $p-1$. Using Lemma $2.6$ and Corollary 2.16, we have
$$
D_{K / \mathbb{Q}}\left(1, \zeta, \ldots, \zeta^{p-2}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}} N_{K / \mathbb{Q}}\left(\Phi^{\prime}(\zeta)\right)=(\text { ind } \zeta)^2 d_K .
$$
So the theorem is proved in view of above equation once it is shown that $N_{K / \mathbb{Q}}\left(\Phi^{\prime}(\zeta)\right)$ equals $p^{p-2}$ and $p$ does not divide ind $\zeta$. The polynomial $\Phi(X)$ satisfies the relation
$$
\Phi(X)(X-1)=X^p-1 .
$$
On differentiating both sides of above equation with respect to $X$ and then substituting $X=\zeta$, we see that
$$
\Phi^{\prime}(\zeta)=\frac{p}{(\zeta-1) \zeta} .
$$
数学代写|数论代写Number Theory代考|An Algorithm for Computing Integral Basis
We now prove a theorem which gives an algorithm for computing integral bases of algebraic number fields.
Theorem 2.34 Let $K=\mathbb{Q}(\theta)$ be an algebraic number field of degree $n$ with $\theta$ an algebraic integer. Then $K$ has an integral basis of the form $\left{\xi_0, \xi_1, \ldots, \xi_{n-1}\right}$, where
$$
\xi_0=1 \text { and } \xi_i=\frac{c_{i 0}+c_{i 1} \theta+\cdots+c_{i(i-1)} \theta^{i-1}+\theta^i}{d_i}
$$
with $c_{i j}, d_i$ belonging to $\mathbb{Z}$ and $d_i>0$ dividing $d_{i+1}$ for $1 \leq i \leq n-1$. The numbers $d_i$ are uniquely determined by $\theta$. In particular, $\left[\mathcal{O}K: \mathbb{Z}[\theta]\right]=\prod{i=1}^{n-1} d_i$.
Proof Let $r$ denote the index of $\mathbb{Z}[\theta]$ in $\mathcal{O}K$. Then by Lagrange’s theorem for finite groups $r \mathcal{O}_K \subset Z[\theta]$. So $\mathcal{O}_K$ is a subgroup of the free abelian group $\frac{1}{r} \mathbb{Z}[\theta]$ which has basis $\left{\frac{1}{r}, \frac{\theta}{r}, \ldots, \frac{\theta^{n-1}}{r}\right}$. By Lemma $2.12$ and Remark 2.13, there exists a $\mathbb{Z}$ – basis of $\mathcal{O}_K$ of the type $\left{\xi_0, \xi_1, \ldots, \xi{n-1}\right}$, where for $0 \leq i \leq n-1$
$$
\xi_i=\frac{a_{i 0}+a_{i 1} \theta+\cdots+a_{i i} \theta^i}{r},
$$
with $a_{i j}$ belonging to $\mathbb{Z}$ and $a_{i i}>0$ for each $i$. Observe that the positive rational number $\xi_0=\frac{a_{00}}{r}$ being an element of a $\mathbb{Z}$-basis of $\mathcal{O}_K$ must be 1 .
We claim that $a_{i i}$ divides $r$ as well as $a_{i j}$ when $0 \leq j<i, 1 \leq i \leq n-1$ and that $d_i$ divides $d_{i+1}$ for $1 \leq i \leq n-1$ where $d_i=\frac{r}{a_{i i}}$. The claim together with the fact that $\xi_0=1$ immediately shows that $\left{\xi_0, \ldots, \xi_{n-1}\right}$ is an integral basis of $K$ of the desired form once we set $c_{i j}=\frac{a_{i j}}{a_{i j}}$ and $d_i=\frac{r}{a_{i j}}, 0 \leq j<i, 1 \leq i \leq n-1$.
数论代写
数学代写|数论代写数论代考|回旋场的积分基与判别
我们首先找到由质数$p$的单位根$p$所产生的回旋场的判别式和一个积分基。回想一下，如果$\zeta$是单位的原元$n$次根，那么$n$次回旋场$\mathbb{Q}(\zeta)$除以$\mathbb{Q}$的次数是$\phi(n)$ (cf定理a .40)。
定理2.25设$\zeta$为单位的原数第p次根，p为奇素数。那么${1, \zeta, \ldots$, $\left.\zeta^{p-2}\right}$是$K=\mathbb{Q}(\zeta)$和$d_K=(-1)^{\frac{p-1}{2}} p^{p-2}$的整数基
设$\Phi(X)$表示度$p-1$的$\zeta$ / $\mathbb{Q}$的极小多项式。利用引理$2.6$和推论2.16，我们得到
$$
D_{K / \mathbb{Q}}\left(1, \zeta, \ldots, \zeta^{p-2}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}} N_{K / \mathbb{Q}}\left(\Phi^{\prime}(\zeta)\right)=(\text { ind } \zeta)^2 d_K .
$$
因此，只要证明$N_{K / \mathbb{Q}}\left(\Phi^{\prime}(\zeta)\right)$等于$p^{p-2}$且$p$不除于$\zeta$，就可以根据上述公式证明该定理。多项式$\Phi(X)$满足关系式
$$
\Phi(X)(X-1)=X^p-1 .
$$
对上述方程两边对$X$求导，然后代入$X=\zeta$，我们看到
$$
\Phi^{\prime}(\zeta)=\frac{p}{(\zeta-1) \zeta} .
$$
数学代写|数论代写数论代考|一种计算积分基的算法
我们现在证明一个定理，它给出了计算代数数域的积分基的一种算法
定理2.34设$K=\mathbb{Q}(\theta)$是度$n$的代数数域，$\theta$是度的代数整数域。然后$K$有一个$\left{\xi_0, \xi_1, \ldots, \xi_{n-1}\right}$形式的积分基，其中
$$
\xi_0=1 \text { and } \xi_i=\frac{c_{i 0}+c_{i 1} \theta+\cdots+c_{i(i-1)} \theta^{i-1}+\theta^i}{d_i}
$$
， $c_{i j}, d_i$属于$\mathbb{Z}$, $d_i>0$除$d_{i+1}$为$1 \leq i \leq n-1$。数字$d_i$是由$\theta$唯一确定的。特别是$\left[\mathcal{O}K: \mathbb{Z}[\theta]\right]=\prod{i=1}^{n-1} d_i$ .
证明让 $r$ 表示的索引 $\mathbb{Z}[\theta]$ 在 $\mathcal{O}K$。然后根据有限群的拉格朗日定理 $r \mathcal{O}_K \subset Z[\theta]$。所以 $\mathcal{O}_K$ 是自由阿贝尔群的子群吗 $\frac{1}{r} \mathbb{Z}[\theta]$ 这是有根据的 $\left{\frac{1}{r}, \frac{\theta}{r}, \ldots, \frac{\theta^{n-1}}{r}\right}$。引理 $2.12$ 和注释2.13，存在 $\mathbb{Z}$ -根据 $\mathcal{O}_K$ 这种类型的 $\left{\xi_0, \xi_1, \ldots, \xi{n-1}\right}$，在哪里 $0 \leq i \leq n-1$
$$
\xi_i=\frac{a_{i 0}+a_{i 1} \theta+\cdots+a_{i i} \theta^i}{r},
$$
with $a_{i j}$ 属于 $\mathbb{Z}$ 和 $a_{i i}>0$ 对于每一个 $i$。观察正有理数 $\xi_0=\frac{a_{00}}{r}$ 的一个元素 $\mathbb{Z}$-基础 $\mathcal{O}_K$
我们声称$a_{i i}$除$r$和$a_{i j}$时$0 \leq j<i, 1 \leq i \leq n-1$, $d_i$除$d_{i+1}$为$1 \leq i \leq n-1$，其中$d_i=\frac{r}{a_{i i}}$。这个声明加上$\xi_0=1$这个事实立即表明，一旦我们设置$c_{i j}=\frac{a_{i j}}{a_{i j}}$和$d_i=\frac{r}{a_{i j}}, 0 \leq j<i, 1 \leq i \leq n-1$, $\left{\xi_0, \ldots, \xi_{n-1}\right}$是$K$的理想形式的一个积分基。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。