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# 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|MAST90136 Unique Factorization Property for Ideals

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## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Unique Factorization Property for Ideals

Let $A$ be a commutative ring with 1 . We recall the definition of an ideal of A. Suppose $\mathfrak{a}$ is a nonempty subset of $A$. We say that $\mathfrak{a}$ is an ideal of $A$, if for every $a \in A$ and $x, y \in \mathfrak{a}, a x$ and $x+y \in \mathfrak{a}$. Every ideal contains 0 , the zero element of $A$. The whole ring $A$ itself is an ideal. An ideal a of $A$ is a proper ideal if $A \supsetneqq \mathfrak{a}$. If $\mathfrak{a} \supsetneqq{0}$, then we call a a nonzero ideal.

Theorem 3.34. If $\mathfrak{A}$ is a nonzero ideal of $\mathcal{O}_K$, then $\mathfrak{a}=\mathfrak{A} \cap \mathbb{Z}$ is a nonzero ideal of $\mathbb{Z}$.

Proof. If $0 \neq \alpha \in \mathfrak{A}$, then $\alpha$ satisfies a nonzero monic polynomial over $\mathbb{Z}$, i.e.
$$a_0+a_1 \alpha+\cdots+\alpha^n=0,$$
with $a_j$ in $\mathbb{Z}$ and $a_0 \neq 0$. Using the defining properties of an ideal, we see that $a_0=-a_1 \alpha-\cdots-a_n \alpha^n \in \mathfrak{A} \cap \mathbb{Z}=\mathfrak{a}$.

Let $\mathfrak{a}$ be an ideal. The relation $x \sim y \Leftrightarrow x-y \in \mathfrak{a}$ is an equivalence relation which partitions $A$ into disjoint sets of the form $x+\mathfrak{a}={x+a \mid a \in \mathfrak{a}}$, called the cosets of $a$ in $A$. This set of cosets is a ring, called the quotient of $A$ by $a$ and is denoted by $A / a$. The ring operations on $A / \mathfrak{a}$ are defined in an obvious way, namely,
$$(x+\mathfrak{a})+(y+\mathfrak{a})=(x+y)+\mathfrak{a},(x+\mathfrak{a})(y+\mathfrak{a})=x y+\mathfrak{a}$$

## 数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Ideal Class Group and Class Number

In the last section, we proved that the nonzero fractional ideals of a Dedekind domain $A$ with quotient field $K$, form an Abelian group $I$ under the operation of multiplication of ideals. The nonzero principal fractional ideals, that is the ideals of the form $\alpha A={\alpha a \mid a \in A}$ with $\alpha \neq 0$ in $K$, form a subgroup $P$ of $I$. The quotient group $I / P$ is called the ideal class group of $K$. The elements of $I / P$ are called the ideal classes. The cardinality of the ideal class group is called the class number of $K$. We will denote the class number of $K$ by $h_K$. In this section we shall show that the class number of a number field is finite, in which $A=\mathcal{O}_K$.

Recall that for a nonzero ideal $\mathfrak{a}$ of $\mathcal{O}_K$, its norm $N(\mathfrak{a})$ is the cardinality of the quotient ring $\mathcal{O}_K / \mathfrak{a}$. We have seen that this cardinality is finite.

Theorem 3.67. Suppose $(\alpha)=\alpha \mathcal{O}K$ is a principal ideal of $\mathcal{O}_K$. Then we have $$N((\alpha))=\left|N{K / \mathbb{Q}}(\alpha)\right| .$$
Proof. If $\alpha=0$ there is nothing to prove, Otherwise, write $\mathcal{O}K=\mathbb{Z} \alpha_1 \oplus$ $\ldots \oplus \mathbb{Z} \alpha_n$, where $n=[K: \mathbb{Q}]$. By Proposition 3.42, we can also write $((\alpha))=$ $\mathbb{Z} \beta_1 \oplus \ldots \oplus \mathbb{Z} \beta_n$, where $$\beta_i=\sum{j=i}^n a_{j i} \alpha_j$$
with $a_{i i}>0$. By Theorem 3.47, $N((\alpha))=a_{11} \ldots a_{n n}$. On the other hand,
$$(\alpha)=\mathbb{Z} \alpha \alpha_1 \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z} \alpha \alpha_n$$
which shows that $\left{\alpha \alpha_1, \ldots, \alpha \alpha_n\right}$ is a $\mathbb{Z}$-basis of $(\alpha)$. The transition matrix $U$ from $\left{\beta_1, \ldots, \beta_n\right}$ to $\left{\alpha \alpha_1, \ldots, \alpha \alpha_n\right}$ is unimodular. If for $i<j$ we let $a_{i j}=0$ and put $M=\left(a_{i j}\right)$, then
$$\alpha\left(\begin{array}{c} \alpha_1 \ \vdots \ \alpha_n \end{array}\right)=U M\left(\begin{array}{c} \alpha_1 \ \vdots \ \alpha_n \end{array}\right)$$
Therefore,
$$\left|N_{K / \mathbb{Q}}(\alpha)\right|=|\operatorname{det}(U M)|=|\operatorname{det}(M)|=\left|N\left(\alpha \mathcal{O}_K\right)\right| .$$

## 数学代写|代数数论代写代数数论代考|理想的唯一分解性质

$$a_0+a_1 \alpha+\cdots+\alpha^n=0,$$
，其中$a_j$在$\mathbb{Z}$和$a_0 \neq 0$中。利用理想的定义性质，我们看到$a_0=-a_1 \alpha-\cdots-a_n \alpha^n \in \mathfrak{A} \cap \mathbb{Z}=\mathfrak{a}$ . . 0

$$(x+\mathfrak{a})+(y+\mathfrak{a})=(x+y)+\mathfrak{a},(x+\mathfrak{a})(y+\mathfrak{a})=x y+\mathfrak{a}$$

## 数学代写|代数数论代写代数数论代考|理想类群与类数

. . 在上一节中，我们证明了Dedekind域的非零分数理想 $A$ 商域 $K$，形成一个阿贝尔群 $I$ 在理想的乘法运算下。非零主分数理想，也就是理想的形式 $\alpha A={\alpha a \mid a \in A}$ 用 $\alpha \neq 0$ 在 $K$，组成一个子组 $P$ 的 $I$。商群 $I / P$ 叫理想班群的 $K$。的元素 $I / P$ 都叫理想类。的类数称为理想类组的基数 $K$。的类号 $K$ 通过 $h_K$。在本节中，我们将证明一个数域的类数是有限的，其中 $A=\mathcal{O}_K$.

，带有$a_{i i}>0$。根据3.47定理，$N((\alpha))=a_{11} \ldots a_{n n}$。另一方面，
$$(\alpha)=\mathbb{Z} \alpha \alpha_1 \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z} \alpha \alpha_n$$
，这表明$\left{\alpha \alpha_1, \ldots, \alpha \alpha_n\right}$是$(\alpha)$的$\mathbb{Z}$ -基。从$\left{\beta_1, \ldots, \beta_n\right}$到$\left{\alpha \alpha_1, \ldots, \alpha \alpha_n\right}$的转换矩阵$U$是统一模块化的。如果对于$i<j$我们让$a_{i j}=0$而放$M=\left(a_{i j}\right)$，那么
$$\alpha\left(\begin{array}{c} \alpha_1 \ \vdots \ \alpha_n \end{array}\right)=U M\left(\begin{array}{c} \alpha_1 \ \vdots \ \alpha_n \end{array}\right)$$

$$\left|N_{K / \mathbb{Q}}(\alpha)\right|=|\operatorname{det}(U M)|=|\operatorname{det}(M)|=\left|N\left(\alpha \mathcal{O}_K\right)\right| .$$

## MATLAB代写

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