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# 统计代写|概率与统计代考Probability and Statistics代写|CSE544 AXIOMS OF PROBABILITY

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## 统计代写|概率与统计代考Probability and Statistics代写|AXIOMS OF PROBABILITY

Let $\mathcal{S}$ be the sample space, namely the set of all outcomes of an experiment. Formally, probability, to be denoted by $P$, is a function defined on the class of all events, ${ }^1$ satisfying the following conditions (usually referred to as axioms):
Axiom 1 (Nonnegativity):
$P(A) \geq 0$ for every event $A$.
Axiom 2 (Norming):
$$P(\mathcal{S})=1 .$$
$$P\left(A_1 \cup A_2 \cup \cdots\right)=\sum_{i=1}^{\infty} P\left(A_i\right)$$
for every sequence of pairwise disjoint events $A_1, A_2, \ldots$, (such that $A_i \cap A_j=\emptyset$ for all $i \neq j$ ).

If the sample space $\mathcal{S}$ is finite or countable, one can define a probability function $P$ as follows: Let $f$ be a nonnegative function defined on $\mathcal{S}$, satisfying the condition $\sum_{s \in \mathcal{S}} f(s)=1$. Then, $P$ may be defined for every subset $A$ of $\mathcal{S}$ as $P(A)=\sum_{s \in A} f(s)$. One can easily check that $P$ satisfies all three axioms.

Indeed, $P(A) \geq 0$ because $f$ is nonnegative, and $P(S)=\sum_{s \in S} f(s)=1$. Finally, let $A_1, A_2, \ldots$ be a sequence of disjoint subsets of $S$. Then,
\begin{aligned} P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+\cdots &=\sum_{s \in A_1} f(s)+\sum_{s \in A_2} f(s)+\cdots \ &=\sum_{s \in A_1 \cup A_2 \cup \cdots} f(s)=P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) \end{aligned}

## 统计代写|概率与统计代考Probability and Statistics代写|CLASSICAL PROBABILITY

For the so-called classical or logical interpretation of probability, we will assume that the sample space $\mathcal{S}$ contains a finite number $N$ of outcomes and all of these outcomes are equally probable.

Obviously, in this case, each of the outcomes has the same probability $1 / N$, and for every event $A$
$$P(A)=\frac{\text { number of outcomes in } A}{N} .$$
In many real situations, the outcomes in the sample space reveal a certain symmetry, derived from physical laws, from logical considerations, or simply from the sampling scheme used. In such cases, one can often assume that the outcomes are equiprobable and use (2.7) as a rule for computing probabilities. Obviously, the function $P$ in (2.7) satisfies the axioms of probability.

To use some very simple examples, in tossing a regular die, each face has the same probability $1 / 6$. Then the probability of the event $A=$ “outcome odd” is $P(A)=3 / 6=1 / 2$, since there are three odd outcomes among the possible six.

The case above is rather trivial, but considerations of symmetry can sometimes lead to unexpectedly simple solutions of various problems.

# 概率与统计代写

## 统计代写|概率与统计代考概率与统计代写|AXIOMS OF Probability

$P(A) \geq 0$对于每个事件$A$。

$$P(\mathcal{S})=1 .$$

$$P\left(A_1 \cup A_2 \cup \cdots\right)=\sum_{i=1}^{\infty} P\left(A_i\right)$$

.

\begin{aligned} P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+\cdots &=\sum_{s \in A_1} f(s)+\sum_{s \in A_2} f(s)+\cdots \ &=\sum_{s \in A_1 \cup A_2 \cup \cdots} f(s)=P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right) \end{aligned}

## 统计代写|概率与统计代考概率与统计代写|经典概率

.

$$P(A)=\frac{\text { number of outcomes in } A}{N} .$$
，在许多实际情况下，样本空间中的结果显示出某种对称性，这种对称性来自物理定律，来自逻辑考虑，或者仅仅来自所使用的抽样方案。在这种情况下，人们通常可以假设结果是等可能的，并使用(2.7)作为计算概率的规则。显然，(2.7)中的函数$P$满足概率公理

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