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# 数学代写|密码学代写Cryptography Theory代考|COMSW4261 The Symmetric Group on $n$ Letters

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## 数学代写|密码学Cryptography Theory代考|The Symmetric Group on $n$ Letters

Let $\Sigma={0,1,2,3, \ldots, n-1}$ be an alphabet of $n$ letters. A permutation of $\Sigma$ is a function $\sigma: \Sigma \rightarrow \Sigma$ that is both 1-1 and onto (equivalently: $\sigma$ is a one-to-one correspondence, or $\sigma$ is a bijection).

Let $\sigma: \Sigma \rightarrow \Sigma$ be a permutation of $\Sigma$. For $i \in \Sigma$, we let $\sigma(i) \in \Sigma$ denote the image of $i$ under $\sigma$. We can write $\sigma$ in convenient permutation notation:
$$\sigma=\left(\begin{array}{ccccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & \cdots & n-2 & n-1 \ \sigma(0) & \sigma(1) & \sigma(2) & \sigma(3) & \cdots & \sigma(n-2) & \sigma(n-1) \end{array}\right)$$

in which the domain of $\sigma, \Sigma={0,1,2,3, \ldots, n-1}$, is written along the top row, and under each domain value $i$, we write its image $\sigma(i)$, forming the bottom row. For instance, if $\Sigma={0,1,2}$, and $\sigma: \Sigma \rightarrow \Sigma$ is the permutation defined as $\sigma(0)=1, \sigma(1)=2, \sigma(2)=0$, then
$$\sigma=\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 2 \ 1 & 2 & 0 \end{array}\right)$$
There are
$$n !=n \times(n-1) \times(n-2) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1$$
possible permutations of the set $\Sigma$ of $n$ letters.
Let $S_n$ denote the collection of all permutations of $\Sigma,\left|S_n\right|=n$ ! We define a binary operation on $S_n$
$$\circ: S_n \times S_n \rightarrow S_n$$
by the rule: for $\sigma, \tau \in S_n, i \in \Sigma$,
$$(\sigma \circ \tau)(i)=\sigma(\tau(i)) .$$
Note that $\sigma \circ \tau \in S_n$; ○ is ordinary function composition.

## 数学代写|密码学Cryptography Theory代考|The Group of Residues Modulo $n$

Let $n, a$ be integers with $n>0$. A residue of $a$ modulo $n$ is any integer $r$ for which $a=n q+r$ for some $q \in \mathbb{Z}$. For instance, if $n=3, a=8$, then 11 is a residue of 8 modulo 3 since $8=3(-1)+11$, but so is 2 since $8=3(2)+2$.

The least non-negative residue of $a$ modulo $n$ is the smallest non-negative number $r$ for which $a=n q+r$. The possible least non-negative residues of $a$ modulo $n$ are $0,1,2, \ldots, n-1$. The least non-negative residue of $a$ modulo $n$ is denoted as $(\mathbf{a} \bmod \mathbf{n})$. For example, $(8 \bmod 3)=2$, moreover, $(-3 \bmod 4)=1$ and $(11 \bmod 4)=(3 \bmod 4)=3$.

For $n, a \in \mathbb{Z}, n>0, a \geq 0$, the value of $(a \bmod n)$ coincides with the value of $r$ obtained when we divide $a$ by $n$ using the long division algorithm, yielding the division statement
$$a=n q+r, \quad r=(a \bmod n) .$$
In fact, as we saw in Algorithm 4.2.8, $q=\lfloor a / n\rfloor$, thus
$$a=n\lfloor a / n\rfloor+(a \bmod n),$$
$0 \leq(a \bmod n)0$. Then $n$ divides $a$, denoted by $n \mid a$, if there exists an integer $k$ for which $a=n k$.

## 数学代写|密码学密码学 理论代考| $n$字母上的对称群

$$\sigma=\left(\begin{array}{ccccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & \cdots & n-2 & n-1 \ \sigma(0) & \sigma(1) & \sigma(2) & \sigma(3) & \cdots & \sigma(n-2) & \sigma(n-1) \end{array}\right)$$

，其中域名$\sigma, \Sigma={0,1,2,3, \ldots, n-1}$写在最上面一行，在每个域值$i$下面，我们写它的图像$\sigma(i)$，形成最下面一行。例如，如果$\Sigma={0,1,2}$, $\sigma: \Sigma \rightarrow \Sigma$是定义为$\sigma(0)=1, \sigma(1)=2, \sigma(2)=0$的排列，那么
$$\sigma=\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 2 \ 1 & 2 & 0 \end{array}\right)$$
$n$字母的集合$\Sigma$有
$$n !=n \times(n-1) \times(n-2) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1$$

$$\circ: S_n \times S_n \rightarrow S_n$$

$$(\sigma \circ \tau)(i)=\sigma(\tau(i)) .$$

## 数学代写|密码学密码学 理论代考|残基模群$n$

$$a=n q+r, \quad r=(a \bmod n) .$$

$$a=n\lfloor a / n\rfloor+(a \bmod n),$$
$0 \leq(a \bmod n)0$。然后$n$除以$a$，用$n \mid a$表示，如果存在一个整数$k$，其中$a=n k$ .

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。