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# 数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|MATH6231 Cubature Formulae Using Interlineation of Functions

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## 数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Formula of Rectangles for Functions of Two Variables

There is a classical method of the approximate computation of integrals below:

$$\begin{gathered} I(f)=\int_0^1 \int_0^1 f(x, y) d x d y \ f(x, 0)=f(x, 1), f(0, y)=f(1, y), f \in \widetilde{C}[0,1]^2,(x, y) \in[0,1]^2 . \end{gathered}$$
Thus, $f$ will be considered to be periodic with a period 1 for each variable. For $f, g \in L_2[0,1]^2$ introduce the scalar product:
$$(f, g)=\int_0^1 \int_0^1 f(x, y) \overline{g(x, y)} d x d y$$
and designation $e_k(x)=\exp (i 2 \pi k x), k \in Z, e_{k, l}(x, y)=e_k(x) e_l(y), k, l \in Z, x$, $y \in[0,1]$

The system of functions $e_{k, l}, k, l \in Z$ creates an orthogonal basic in the Hilbert domain $L_2[0,1]^2$. Let $A[0,1]^2$ be the Wiener algebra of functions $f \in L_2[0,1]^2$, which Fourier series are absolutely coincided with:
$$\sum_{k=-\infty}^{\infty} \sum_{l=-\infty}^{\infty}\left|\left(f, e_{k, l}\right)\right|<\infty$$

## 数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Mixed Cubature Formula of Rectangles of r Order

Introduce the sum of $r$ order for two-dimensional cubature formulae of rectangles of the $r$ order:
$$S_r^2(f)=\sum_{m=1}^r I_{2^m, 2^{r+1-m}}(f), r \in N$$
Then a mixed formula of rectangles of the $r$ order $I_r^2(f)$ will look like as follows:
$$I_r^2(f)=S_r^2(f)-S_{r-1}^2(f)$$
where $r \in N, r>1$. The nodes of the cubature formula $I_r^2(f)$ are determined foremost by nodes $S_r^2(f)$ :
$$\bigcup_{m=1}^r\left{\left(j \cdot 2^{-m}, k \cdot 2^{-r-1+m}\right): 0 \leq j<2^m, 0 \leq k<2^{r+1-m}\right}$$
their quantity is computed by the formula:
$$n_r=(r+1) 2^r .$$
Find the formula for the excess of the approximation of double integrals by this mixed cubature formula of rectangles $r$ order.

## 数学代写|最优化作业代写优化理论代考|双变量函数的矩形公式

$$\begin{gathered} I(f)=\int_0^1 \int_0^1 f(x, y) d x d y \ f(x, 0)=f(x, 1), f(0, y)=f(1, y), f \in \widetilde{C}[0,1]^2,(x, y) \in[0,1]^2 . \end{gathered}$$

$$(f, g)=\int_0^1 \int_0^1 f(x, y) \overline{g(x, y)} d x d y$$

$$\sum_{k=-\infty}^{\infty} \sum_{l=-\infty}^{\infty}\left|\left(f, e_{k, l}\right)\right|<\infty$$

## 数学代写|最优化作业代写优化理论代考| r阶矩形的混合体积公式

$$S_r^2(f)=\sum_{m=1}^r I_{2^m, 2^{r+1-m}}(f), r \in N$$

$$I_r^2(f)=S_r^2(f)-S_{r-1}^2(f)$$

$$\bigcup_{m=1}^r\left{\left(j \cdot 2^{-m}, k \cdot 2^{-r-1+m}\right): 0 \leq j<2^m, 0 \leq k<2^{r+1-m}\right}$$

$$n_r=(r+1) 2^r .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。