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# 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|ELEC-E5424 Situation and goal

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## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|ESTIMATING N-CONVEX FUNCTIONS ON UNIONS OF CONVEX SETS

Consider the situation as follows: given are Euclidean spaces $\Omega=\mathcal{E}_H, \mathcal{E}_M, \mathcal{E}_X$ along with

• regular data (see Section 2.8.1.1) $\mathcal{H} \subset \mathcal{E}_H, \mathcal{M} \subset \mathcal{E}_M, \Phi(\cdot ; \cdot): \mathcal{H} \times \mathcal{M} \rightarrow \mathbf{R}$, with $0 \in \operatorname{int} \mathcal{H}$
• a nonempty convex compact set $\mathcal{X} \subset \mathcal{E}_X$,
• an affine mapping $x \mapsto \mathcal{A}(x): \mathcal{E}_X \rightarrow \mathcal{E}_M$ such that $\mathcal{A}(\mathcal{X}) \subset \mathcal{M}$,
• a continuous convex calibrating function $v(x): \mathcal{X} \rightarrow \mathbf{R}$,
• a vector $g \in \mathcal{E}_X$ and a constant $c$ specifying the linear form $G(x)=\langle g, x\rangle+c$ : $\mathcal{E}_X \rightarrow \mathbf{R},^9$
• a tolerance $\epsilon \in(0,1)$.
These data specify, in particular, the family
$$\mathcal{P}=\mathcal{S}[\mathcal{H}, \mathcal{M}, \Phi]$$
of probability distributions on $\Omega=\mathcal{E}H$; see Section 2.8.1.1. Given random observation $$\omega \sim P(\cdot)$$ where $P \in \mathcal{P}$ is such that $$\forall h \in \mathcal{H}: \ln \left(\int{\mathcal{E}_H} \mathrm{e}^{\langle h, \omega\rangle} P(d \omega)\right) \leq \Phi(h ; \mathcal{A}(x))$$
for some $x \in \mathcal{X}$ (that is, $\mathcal{A}(x)$ is a parameter, as defined in Section 2.8.1.1, of distribution $P$ ), we want to recover the quantity $G(x)$.

## 数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Construction and main results

Let us set
$$\mathcal{H}^{+}=\left{(h, \alpha): h \in \mathcal{E}H, \alpha>0, h / \alpha \in \mathcal{H}\right}$$ so that $\mathcal{H}^{+}$is a nonempty convex set in $\mathcal{E}_H \times \mathbf{R}{+}$, and let
(a) $\Psi_{+}(h, \alpha)=\sup {x \in \mathcal{X}}[\alpha \Phi(h / \alpha, \mathcal{A}(x))-G(x)-v(x)]: \mathcal{H}^{+} \rightarrow \mathbf{R}$, (b) $\Psi{-}(h, \beta)=\sup {x \in \mathcal{X}}[\beta \Phi(-h / \beta, \mathcal{A}(x))+G(x)-v(x)]: \mathcal{H}^{+} \rightarrow \mathbf{R}$, so that $\Psi{\pm}$are convex real-valued functions on $\mathcal{H}^{+}$(recall that $\Phi$ is convex-concave and continuous on $\mathcal{H} \times \mathcal{M}$, while $\mathcal{A}(\mathcal{X})$ is a compact subset of $\mathcal{M})$.
Our starting point is quite simple:
Proposition 3.5. Given $\epsilon \in(0,1)$, let $\bar{h}, \bar{\alpha}, \bar{\beta}, \bar{\varkappa}, \bar{\rho}$ be a feasible solution to the system of convex constraints
\begin{aligned}\left(a_1\right) &(h, \alpha) & \in \mathcal{H}^{+} \\left(a_2\right) &(h, \beta) & \in \mathcal{H}^{+} \\left(b_1\right) & \alpha \ln (\epsilon / 2) & \geq \Psi_{+}(h, \alpha)-\rho+\varkappa \\left(b_2\right) & \beta \ln (\epsilon / 2) & \geq \Psi_{-}(h, \beta)-\rho-\varkappa \end{aligned}
in variables $h, \alpha, \beta, \rho, \varkappa$. Setting
$$\widehat{g}(\omega)=\langle\bar{h}, \omega\rangle+\bar{\varkappa},$$
we obtain an estimate with $\epsilon$-risk at most $\bar{\rho}$.

## 数学代写|凸优化代写凸优化代考|在凸集的union上估计n -凸函数

• 正则数据$\mathcal{H} \subset \mathcal{E}_H, \mathcal{M} \subset \mathcal{E}_M, \Phi(\cdot ; \cdot): \mathcal{H} \times \mathcal{M} \rightarrow \mathbf{R}$，与$0 \in \operatorname{int} \mathcal{H}$
• 一个非空凸紧集$\mathcal{X} \subset \mathcal{E}_X$，
• 一个仿射映射$x \mapsto \mathcal{A}(x): \mathcal{E}_X \rightarrow \mathcal{E}_M$，使$\mathcal{A}(\mathcal{X}) \subset \mathcal{M}$，
• 一个连续凸标定函数$v(x): \mathcal{X} \rightarrow \mathbf{R}$，
• 一个向量$g \in \mathcal{E}_X$和一个常数$c$指定线性形式$G(x)=\langle g, x\rangle+c$:$\mathcal{E}_X \rightarrow \mathbf{R},^9$
• a公差$\epsilon \in(0,1)$ .
这些数据特别说明了$\Omega=\mathcal{E}H$上概率分布的族
$$\mathcal{P}=\mathcal{S}[\mathcal{H}, \mathcal{M}, \Phi]$$
;见2.8.1.1节。假设随机观察$$\omega \sim P(\cdot)$$，其中$P \in \mathcal{P}$对于某些$x \in \mathcal{X}$(即$\mathcal{A}(x)$是分布$P$的第2.8.1.1节中定义的参数)，$$\forall h \in \mathcal{H}: \ln \left(\int{\mathcal{E}_H} \mathrm{e}^{\langle h, \omega\rangle} P(d \omega)\right) \leq \Phi(h ; \mathcal{A}(x))$$
，我们希望恢复数量$G(x)$ .

## 数学代写|凸优化代写凸优化代考|构造和主要结果

$$\mathcal{H}^{+}=\left{(h, \alpha): h \in \mathcal{E}H, \alpha>0, h / \alpha \in \mathcal{H}\right}$$ 所以 $\mathcal{H}^{+}$是一个非空凸集吗 $\mathcal{E}_H \times \mathbf{R}{+}$，让
(a) $\Psi_{+}(h, \alpha)=\sup {x \in \mathcal{X}}[\alpha \Phi(h / \alpha, \mathcal{A}(x))-G(x)-v(x)]: \mathcal{H}^{+} \rightarrow \mathbf{R}$， (b) $\Psi{-}(h, \beta)=\sup {x \in \mathcal{X}}[\beta \Phi(-h / \beta, \mathcal{A}(x))+G(x)-v(x)]: \mathcal{H}^{+} \rightarrow \mathbf{R}$，因此 $\Psi{\pm}$凸实值函数在吗 $\mathcal{H}^{+}$(回想一下 $\Phi$ 凹凸是连续的吗 $\mathcal{H} \times \mathcal{M}$，而 $\mathcal{A}(\mathcal{X})$ 的紧凑型子集 $\mathcal{M})$我们的出发点很简单:

$$\widehat{g}(\omega)=\langle\bar{h}, \omega\rangle+\bar{\varkappa},$$

## MATLAB代写

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