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## 数学代写|高等线性代数Advanced Linear Algebra代考||THE TRAPEZOIDAL AND SIMPSON RULES

The central idea behind most ideas for approximating
$$I(f)=\int_a^b f(x) d x$$
is to replace $f(x)$ by an approximating function whose integral can be evaluated. In this section, we look at methods based on using linear and quadratic interpolation.
Approximate $f(x)$ by the linear polynomial
$$P_1(x)=\frac{(b-x) f(a)+(x-a) f(b)}{b-a}$$
which interpolates $f(x)$ at $a$ and $b$ (see Figure 7.1). The integral of $P_1(x)$ over $[a, b]$ is the area of the shaded trapezoid shown in Figure $7.1$; it is given by
$$T_1(f)=(b-a)\left[\frac{f(a)+f(b)}{2}\right]$$
This approximates the integral $I(f)$ if $f(x)$ is almost linear on $[a, b]$.

To improve on the approximation $T_1(f)$ in (7.4) when $f(x)$ is not a nearly linear function on $[a, b]$, break the interval $[a, b]$ into smaller subintervals and apply (7.4) on each subinterval. If the subintervals are small enough, then $f(x)$ will be nearly linear on each one. This idea is illustrated in Figure 7.2.

To improve on $T_1(f)$ in (7.4), use quadratic interpolation to approximate $f(x)$ on $[a, b]$. Let $P_2(x)$ be the quadratic polynomial that interpolates $f(x)$ at $a, c=$ $(a+b) / 2$ and $b$. Using this to approximate $I(f)$, we get
\begin{aligned} I(f) & \doteq \int_a^b p_2(x) d x \ &=\int_a^b\left[\frac{(x-c)(x-b)}{(a-c)(a-b)} f(a)+\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} f(c)+\frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)} f(b)\right] d x \end{aligned}
This integral can be evaluated directly, but it is easier to first introduce $h=(b-a) / 2$ and then to change the variable of integration. We will evaluate the first term to illustrate the general procedure. Let $u=x-a$. Then
\begin{aligned} \int_a^b \frac{(x-c)(x-b)}{(a-c)(a-b)} d x &=\frac{1}{2 h^2} \int_a^{a+2 h}(x-c)(x-b) d x \ &=\frac{1}{2 h^2} \int_0^{2 h}(u-h)(u-2 h) d u \ &=\frac{1}{2 h^2}\left[\frac{u^3}{3}-\frac{3}{2} u^2 h+2 h^2 u\right]_0^{2 h}=\frac{h}{3} \end{aligned}

## 数学代写|线性代数代写线性代数代考|THE梯形和辛普森规则

$$I(f)=\int_a^b f(x) d x$$

$$P_1(x)=\frac{(b-x) f(a)+(x-a) f(b)}{b-a}$$

$$T_1(f)=(b-a)\left[\frac{f(a)+f(b)}{2}\right]$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。