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数学代写|数学物理代写Mathematical Physics代考|b-Fibration Algebra

Returning to the initial setting of a fibration the opposite extreme to the semiclassical case corresponds to a trivial fibration in the sense that $\phi$ has one fibre. Then the operators are simply smooth in the parameter $t$. This serves to emphasize that the map to $[0,1]$ is itself a fibration and this can be generalized – as in the setting of the Atiyah-Singer index theorem – to the case of a more general base and fibration with $X \times[0,1]$ replace by a fibration $\phi: \hat{X} \longrightarrow B$ with typical fibre $X$. This in turn can be generalized to the case of a $b$-fibration which allows degeneration, of a specific type, on the fibres. Rather than define this in general let me point to a specific type of example.

Suppose $M$ is a compact manifold with corners. It may have many boundary hypersurfaces but each has (by assumption) a defining function – a smooth nonnegative function on $M$ which vanishes precisely at the boundary hypersurface in question and has non-zero differential there. Then a total boundary defining function on $M$ is a product of such functions. More generally one can take a product of positive integral powers of such functions. The resulting function, which vanishes at every boundary point but is positive elsewhere, defines a b-fibration – a kind of collar decomposition – as a map to $[0, \epsilon]$ for $\epsilon>0$ small enough. The general case of a b-fibration is locally the product of such maps and an ordinary fibration. In any case there is a similar structure to the case of a fibration if vector fields tangent to all boundaries are considered and there is an algebra of pseudodifferential operators reducing to the fibre pseudodifferential operators for a fibration:
$$
\mathcal{V}{\mathrm{b} / \phi}(M) \subset \rho^\alpha \operatorname{Diff}{\mathrm{b} / \phi}^(M ; W) \subset \rho^\alpha \Psi_{\mathrm{b} / \phi}^(M ; W) \subset \rho^\alpha \Psi_{\mathrm{b} / \phi}^{* *}(M ; W)
$$
The last space here actually depends on a choice of the resolution of the fibre diagonal ([3]).

Example of this is provided by the blow-up calculus being developed with Pierre Albin and also the gluing calculus with Michael Singer which corresponds to gluing problems such as treated by Arezzo and Pacard [1]. Namely, from a manifold with an interior separating hypersurface a manifold with corners can be constructed with b-fibration which corresponds to the process of gluing a complete metric on one side of the hypersurface to an appropriate (often incomplete) metric on the other side. The b-fibration is of the type discussed above. This is also related to older work with Andrew Hassell and Rafe Mazzeo on the eta invariant.

数学代写|数学物理代写Mathematical Physics代考|Morse Degeneration

The two types of calculus above, corresponding to a b-fibration, where the vector fields degenerate only at a submanifold in the boundary, and the adiabatic case where the degenerate to be tangent to the fibres of a fibration can be combined. Rather than set this up in general – corresponding to iterated b-fibrations where there are finer fibrations over (some of) the boundary hypersurfaces of the first b-fibration – let me simply indicate an example which arises from a question of Atiyah.

Every compact manifold $M$ carries a Morse function $f: M \longrightarrow[a, b]$. This can be thought of as a generalization of a fibration over the circle – the setting considered by Witten in [4]. There are singular fibres but they are isolated and of ‘minimal singularity’. In particular the singular points, where the differential of $f$ vanishes, are themselves isolated. To construct an adiabatic limit of this b-type, first replace $M$ by the manifold with boundary in which the critical points of $f$ are blown up radially, $M_{\mathrm{C}}=[M ; \mathrm{Cp}]$ to which $f$ lifts as a smooth function. The singular fibres of $f$ are resolved in the sense that they are each the union of a boundary hypersurface and an embedded (generally non-connected) submanifold SF which meets this boundary transversally. The full space with b-fibration we consider is
$$
\left[M_{\mathrm{C} P} \times[0,1]_t ; \mathrm{SF}\right] \longrightarrow[0,1]_t .
$$
The additional condition imposes on vector fields (and hence differential operators) corresponding to the adiabatic limit is that over $t=0$ they should be tangent to the boundaries, to the regular fibres of $f$ and to the fibres of the blow-down map for the blow-up of SF.

Atiyah’s question is whether for a Dirac operator on the total space one can find a formula for the index (which of course is known) in terms of the spectral flow of the induced Dirac operators on the fibres, between the singular values (likely regularized in some way) with perhaps some ‘jump terms’ across the singular fibres. For the moment I only know how do do this after perturbing the operator by a smoothing operator associated to the calculus that I have implicitly described above. To give a more realistic answer requires a better understanding of the behaviour of the eta invariant.

数学物理代写

数学代写|数学物理代写数学物理代考|b-纤维代数

. b . b

回到纤维化的初始设定，半经典情况的另一个极端对应于$\phi$有一个纤维的意义上的微小纤维化。然后运算符在参数$t$中简单地平滑。这有助于强调到$[0,1]$的映射本身是一个纤维化，这可以被推广——正如在Atiyah-Singer指数定理的设置中一样——到一个更一般的碱和纤维化$X \times[0,1]$的情况下，用一个典型纤维$X$的纤维化$\phi: \hat{X} \longrightarrow B$代替。这反过来又可以推广到$b$纤维化的情况，它允许纤维上的特定类型的退化。与其笼统地定义它，不如让我指出一个特定类型的例子

假设$M$是一个有角的紧凑流形。它可能有许多边界超曲面，但每一个都有(根据假设)一个定义函数——一个光滑的非负函数，在$M$上精确地消失在有问题的边界超曲面上，并在那里有非零微分。那么$M$上的总边界定义函数就是这些函数的乘积。更一般地，我们可以取这些函数的正积分幂的乘积。得到的函数在每个边界点处消失，但在其他地方为正，它定义了一个b纤维化(一种领子分解)，作为一个足够小的$\epsilon>0$到$[0, \epsilon]$的映射。b纤维化的一般情况是这种映射和普通纤维化的局部产物。在任何情况下，如果考虑与所有边界相切的向量场，并且存在伪微分算子的代数简化为纤维伪微分算子的纤维纤维:
$$
\mathcal{V}{\mathrm{b} / \phi}(M) \subset \rho^\alpha \operatorname{Diff}{\mathrm{b} / \phi}^(M ; W) \subset \rho^\alpha \Psi_{\mathrm{b} / \phi}^(M ; W) \subset \rho^\alpha \Psi_{\mathrm{b} / \phi}^{* *}(M ; W)
$$
最后一个空间实际上取决于纤维对角线分辨率([3])的选择。

这个例子由Pierre Albin开发的膨胀微积分和Michael Singer的粘合微积分提供，这与Arezzo和Pacard处理的粘合问题相对应。也就是说，从一个具有内部分离超曲面的流形，可以用b-纤维化构造一个有角的流形。b-纤维化对应于将超曲面一侧的完全度规粘到另一侧适当的(通常是不完全的)度规上的过程。b纤维化是上述讨论的类型。这也与Andrew Hassell和Rafe Mazzeo关于eta不变量的老工作有关

数学代写|数学物理代写数学物理代考|莫尔斯退化

.

以上两种类型的微积分，对应于b-纤维化，其中向量场只在边界的子流形处简并，以及绝热情况下简并与纤维化的纤维相切的情况可以合并。与迭代b-纤化对应的是，在第一个b-纤化的边界超表面上有更细的纤化，我不妨简单地举一个来自Atiyah问题的例子。

每个紧凑歧管 $M$ 带有莫尔斯函数 $f: M \longrightarrow[a, b]$。这可以被认为是圆上纤维化的一般化——威腾在[4]中考虑的设定。有奇异纤维，但它们是孤立的，具有“最小奇异”。特别是奇异点，其中的微分 $f$ 消失的人，他们自己是孤立的。为了构造这种b型的绝热极限，首先替换 $M$ 由具有边界的流形，其中的临界点 $f$ 放射状放大， $M_{\mathrm{C}}=[M ; \mathrm{Cp}]$ 到哪 $f$ 升降机是一个平滑的功能。纤维的奇异纤维 $f$ 在这种意义上，它们都是一个边界超曲面和一个嵌入的(通常不相连的)子流形的并集，该子流形横向满足该边界。我们认为有b纤维化的空间为
$$
\left[M_{\mathrm{C} P} \times[0,1]_t ; \mathrm{SF}\right] \longrightarrow[0,1]_t .
$$与绝热极限相对应的向量场(因此是微分算子)的附加条件是over $t=0$ 它们应该与边界相切，与规则的纤维相切 $f$ 和到吹倒图的纤维为吹倒的SF.

Atiyah的问题是，对于总空间上的狄拉克算符，人们是否可以找到一个指数公式(这当然是已知的)，根据纤维上的诱导狄拉克算符的光谱流，在奇异值(可能以某种方式正则化)之间，可能有一些跨越奇异纤维的“跳跃项”。到目前为止，我只知道在用一个与微积分相关的平滑算子扰动算子之后如何做到这一点，我已经在上面隐式地描述过了。要给出一个更现实的答案，需要对eta不变量的行为有更好的理解

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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

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什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。