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# 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|MTH411LR Lp-Spaces and the Radon-Nikodym Theorem

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## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Lp-Spaces and the Radon-Nikodym Theorem

We always assume that $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ is a $\sigma$-finite measure space. In Definition 4.16, for measurable $f: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$, we defined
$$|f|_p:=\left(\int|f|^p d \mu\right)^{1 / p} \text { for } p \in[1, \infty)$$
and
$$|f|_{\infty}:=\inf {K \geq 0: \mu(|f|>K)=0} .$$
Further, we defined the spaces of functions where these expressions are finite: $\mathcal{L}^p(\Omega, \mathcal{A}, \mu)=\mathcal{L}^p(\mathcal{A}, \mu)=\mathcal{L}^p(\mu)=\left{f: \Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R}}\right.$ measurable and $\left.|f|_p<\infty\right}$.
We saw that $|\cdot|_1$ is a seminorm on $\mathcal{L}^1(\mu)$. Here our first goal is to change $|\cdot|_p$ into a proper norm for all $p \in[1, \infty]$. Apart from the fact that we still have to show the triangle inequality, to this end, we have to change the space a little bit since we only have
$$|f-g|_p=0 \quad \Longleftrightarrow \quad f=g \quad \mu \text {-a.e. }$$
For a proper norm (that is, not only a seminorm), the left-hand side has to imply equality (not only a.e.) of $f$ and $g$. Hence we now consider $f$ and $g$ as equivalent if $f=g$ almost everywhere. Thus let
$\mathcal{N}={f$ is measurable and $f=0 \quad \mu$-a.e. $}$.
For any $p \in[1, \infty], \mathcal{N}$ is a subvector space of $\mathcal{L}^p(\mu)$. Thus formally we can build the factor space. This is the standard procedure in order to change a seminorm into a proper norm.

## 数学代写|概率论代考Probability Theory代写|Inequalities and the Fischer-Riesz Theorem

We present one of the most important inequalities of probability theory, Jensen’s inequality for convex functions, and indicate how to derive from it Hölder’s inequality and Minkowski’s inequality. They in turn yield the triangle inequality for $|\cdot|_p$ and help in determining the dual space of $L^p(\mu)$. However, for the formal proofs of the latter inequalities, we will follow a different route.

Before stating Jensen’s inequality, we give a primer on the basics of convexity of sets and functions.

Definition 7.4 A subset $G$ of a vector space (or of an affine linear space) is called convex if, for any two points $x, y \in G$ and any $\lambda \in[0,1]$, we have $\lambda x+(1-$

Example $7.5$
(i) The convex subsets of $\mathbb{R}$ are the intervals.
(ii) A linear subspace of a vector space is convex.
(iii) The set of all probability measures on a measurable space is a convex set. $\diamond$

# 概率论代写

$$|f|p:=\left(\int|f|^p d \mu\right)^{1 / p} \text { for } p \in[1, \infty)$$

$$|f|{\infty}:=\inf {K \geq 0: \mu(|f|>K)=0} .$$

$$|f-g|_p=0 \quad \Longleftrightarrow \quad f=g \quad \mu \text {-a.e. }$$

$\mathcal{N}={f$是可测量的，$f=0 \quad \mu$ -a.e. $}$ .

## 数学代写|概率论代考概率论代写|不等式和fisher – riesz定理

7.4向量空间(或仿射线性空间)的子集$G$称为凸，如果对于任意两点$x, y \in G$和任意两点$\lambda \in[0,1]$，我们有$\lambda x+(1-$

(i) $\mathbb{R}$的凸子集是区间。
(ii)向量空间的线性子空间是凸的。
(iii)在可测空间上的所有概率度量的集合是凸集。$\diamond$

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