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# 数学代写|复分析代写Complex analysis代考|MATH3401 Connected sets and domains

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## 数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Connected sets and domains

6.5.1 Definition A non-empty subset $H$ of $\mathbb{C}$ is called connected ${ }^5$ if each two points in $H$ can be joined by a path lying within $H$ : that is, if for every choice of $x \in H$ and of $y \in H$ there exists a path $\gamma$ whose first point is $x$, whose last point is $y$ and whose track is entirely contained in $H$.

For instance, $C\left(z_0, r\right), D\left(z_0, r\right)$ and $\bar{D}\left(z_0, r\right)$ are (fairly obviously) connected for any choice of $z_0$ and $r$, and so is any ‘annulus’ (that is, the region of the plane lying between two concentric circles).

Simple examples of sets that are not connected include the union of two nonoverlapping discs, the complement in $\mathbb{C}$ of the real axis, and the set
$${z=x+i y \in \mathbb{C}: y=\sin (1 / x), x \neq 0}$$
(the graph of the function $\sin (1 / x)$, thought of here as a subset of the complex plane).

A particular class of connected sets that turn up very often in practice are what are called star-shaped sets. The term is fairly self-explanatory, but we still need a precise definition for it:
6.5.2 Definition A non-empty subset $S$ of $\mathbb{C}$ is called star-shaped if there exists at least one so-called star centre for it: that is, a point $z_0$ in $S$ with the property that, for every $w \in S$, the straight line segment $\left[z_0, w\right]$ that joins $z_0$ to $w$ lies entirely within $S$.

The union of the real axis and the imaginary axis gives a (rather extreme) example of a star-shaped set, one whose only star centre is the origin. Any disc (open or closed) is a star-shaped set and, in both cases, any point at all belonging to the disc acts as a star centre for that disc.

## 数学代写|复分析代写Complex analysis代考|Integrating along a contour

Recall that a smooth path is one which is differentiable and whose derivative is continuous. A piecewise smooth path (a contour) is allowed to have finitely many points (corners, cusps…) at which this condition breaks down, and so it can be split at these awkward points into smooth pieces and is, in consequence, the concatenation (the sum) of these smooth ‘components’. This possibility of recognising every contour as a sum of smooth paths is the critical link between the two halves of our next definition, and of everything that flows from it.
6.6.1 Definition Suppose that a complex function $f$ is continuous on a domain $G$, and that $\gamma:[a, b] \rightarrow G$ is a path in $G$

1. If $\gamma$ is smooth, we define the integral off along $\gamma$ as
$$\int_\gamma f(z) d z=\int_a^b f(\gamma(t)) \gamma^{\prime}(t) d t$$
2. If $\gamma$ is only piecewise smooth, we define the integral off along $\gamma$ to be the total of its integrals along the smooth components of $\gamma$.

## 数学代写|复分析代写复杂分析代考|连接集和域

6.5.1定义如果在$H$中的每两个点都可以由位于$H$中的一条路径连接，即对于$x \in H$和$y \in H$的每一个选择，都存在一条路径$\gamma$，其第一个点是$x$，最后一个点是$y$，其轨迹完全包含在$H$中，则$\mathbb{C}$的非空子集$H$称为连通的${ }^5$ 例如，对于$z_0$和$r$的任意选择，$C\left(z_0, r\right), D\left(z_0, r\right)$和$\bar{D}\left(z_0, r\right)$(相当明显地)是相连的，任何“环空”(即位于两个同心圆之间的平面区域)也是相连的 不相连的集合的简单例子包括两个不重叠的圆盘的并集，实轴在$\mathbb{C}$上的补集，集合
$${z=x+i y \in \mathbb{C}: y=\sin (1 / x), x \neq 0}$$
(函数$\sin (1 / x)$的图，在这里被认为是复平面的子集) 在实践中经常出现的一类特殊的连通集叫做星形集。这个术语是相当不言自明的，但我们仍然需要一个精确的定义:
$S$ 的 $\mathbb{C}$ 如果它至少有一个所谓的星中心，即一个点，它就被称为星形的 $z_0$ 在 $S$ 有这样的性质，对于每一个 $w \in S$直线段 $\left[z_0, w\right]$ 连接 $z_0$ 到 $w$ 完全在内心 $S$.

## 数学代写|复分析代写复杂分析代考|沿等高线积分

6.6.1定义假设复函数$f$在域$G$上是连续的，而$\gamma:[a, b] \rightarrow G$是$G$中的路径

$$\int_\gamma f(z) d z=\int_a^b f(\gamma(t)) \gamma^{\prime}(t) d t$$ 如果$\gamma$只是分段光滑的，我们定义沿$\gamma$的off积分为其沿$\gamma$光滑分量的积分的总和

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。