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## 数学代写|随机分析代写Stochastic Analysis in Finance代考|Segal algebras

A subalgebra $S(K)$ of $L^1(K)$ is called a Segal algebra on a commutative hypergroup $K$ if the following conditions are fulfilled:
(S1) $S(K)$ is a Banach algebra with respect to a norm $|\cdot|_S$.
(S2) $S(K)$ is dense in $L^1(K)$.
(S3) For all $f \in S(K)$ and $a \in K, L_a f:=\varepsilon_a * f$ satisfies
$$\left|L_a f\right|_S \leq|f|_S .$$
(S4) For every $f \in S(K)$ the mapping
$$a \mapsto L_a f$$
from $K$ into $S(K)$ is continuous.
A Segal algebra $S(K)$ is said to be character invariant if it fulfills two more conditions
(S5) For $f \in S(K)$ and $\chi \in K^*, \chi f \in S(K)$ with
$$|\chi f|_S \leq|f|_S,$$
and

(S6) for every $f \in S(K)$ the mapping
$$\chi \mapsto \chi f$$
from $K^{\wedge}$ into $S(K)$ is continuous.
If condition (S2) is replaced by the relation $\left(\mathrm{S} 2^{\prime}\right)$
\begin{aligned} F_c(K): &=\left{f \in L^1(K): \operatorname{supp}(\hat{f}) \text { is compact }\right} \ & \subset S(K), \end{aligned}
then Definition 3.1.1 provides a $C K$-algebra introduced by A. K. Chilana and A. Kumar in [8].

We note that for strong hypergroups (S2′) implies (S2), hence every CK-algebra is a Segal algebra. Conversely, for strong hypergroups conditions (S1) to (S6) imply $\left(\mathrm{S} 2^{\prime}\right)$ which says that every character invariant Segal algebra is in fact a CK algebra.

## 数学代写|随机分析代写Stochastic Analysis in Finance代考|Obvious facts

3.1.2.1 Every Segal algebra $S(K)$ is an ideal in $L^1(K)$, hence
3.1.2.2 $h * f \in S(K)$ and
$$|h * f|_S \leq|h|_1|f|_S$$
whenever $h \in L^1(K), f \in S(K)$.
3.1.2.3 $\mu * f \in S(K)$ and
$$|\mu * f|_S \leq|\mu||f|_S$$
for all $\mu \in M^b(K), f \in S(K)$
3.1.3. Examples of Segal algebras as they appear in the work of R. Bürger [5] and M. Leitner [37].
3.1.3.1 Let $k \in C_{+}^c(K)$ be fixed and define for $f \in C(K)$ the function $f^{(k)}$ on $K$ by
$$f^{(k)}(x):=\left|\left(L_x k\right) f\right|_{\infty}$$

for all $x \in K$. Then the Wiener algebra
$$W(K):=\left{f \in C(K): f^{(k)} \in L^1(K)\right}$$
furnished with the norm
$$f \mapsto|f|_{W(K)}:=\left|f^{(k)}\right|,$$
is a Segal algebra satisfying (S5).

## 数学代写|随机分析代写金融中的随机分析代考|分割代数

(S1) $S(K)$ 是关于范数的巴拿赫代数吗 $|\cdot|_S$.
(S2) $S(K)$ 密集在 $L^1(K)$.
(S3)为所有 $f \in S(K)$ 和 $a \in K, L_a f:=\varepsilon_a * f$ 满足
$$\left|L_a f\right|_S \leq|f|_S .$$
(S4)对于每 $f \in S(K)$ 映射
$$a \mapsto L_a f$$
from $K$ 进入 $S(K)$ 是连续的。
A Segal algebra $S(K)$ 如果它满足另外两个条件
(S5) For $f \in S(K)$ 和 $\chi \in K^*, \chi f \in S(K)$ 与
$$|\chi f|_S \leq|f|_S,$$

(S6)对于每个$f \in S(K)$，从$K^{\wedge}$到$S(K)$的映射
$$\chi \mapsto \chi f$$

\begin{aligned} F_c(K): &=\left{f \in L^1(K): \operatorname{supp}(\hat{f}) \text { is compact }\right} \ & \subset S(K), \end{aligned}

## 数学代写|随机分析代写金融中的随机分析代考|显而易见的事实

3.1.2.1每个节代数$S(K)$在$L^1(K)$中是理想的，因此
3.1.2.2 $h * f \in S(K)$和
$$|h * f|_S \leq|h|_1|f|_S$$

3.1.2.3 $\mu * f \in S(K)$和
$$|\mu * f|_S \leq|\mu||f|_S$$

3.1.3。R. Bürger[5]和M. Leitner [37].
3.1.3.1固定$k \in C_{+}^c(K)$，通过
$$f^{(k)}(x):=\left|\left(L_x k\right) f\right|_{\infty}$$

for all $x \in K$。则Wiener代数
$$W(K):=\left{f \in C(K): f^{(k)} \in L^1(K)\right}$$

$$f \mapsto|f|_{W(K)}:=\left|f^{(k)}\right|,$$

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