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计算机视觉Computer Vision任务包括获取、处理、分析和理解数字图像的方法,以及从现实世界中提取高维数据以产生数字或符号信息,例如以决策的形式。这里的理解意味着将视觉图像(视网膜的输入)转化为对思维过程有意义的世界描述,并能引起适当的行动。这种图像理解可以被看作是利用借助几何学、物理学、统计学和学习理论构建的模型将符号信息从图像数据中分离出来的过程。

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计算机代写|计算机视觉代写Computer Vision代考|Newton’s Method

Newton’s method is a classical example of second-order continuous optimization (see, e.g., [2] for a more detailed description). Here, the function $f(\mathbf{x})$ is approximated by a second-order Taylor expansion $T$ at the current solution $\mathbf{x}^k$ :
$$
f(\mathbf{x}) \cong T(\delta \mathbf{x})=f\left(\mathbf{x}^k\right)+\nabla f\left(\mathbf{x}^k\right) \cdot \delta \mathbf{x}+\frac{1}{2} \delta \mathbf{x}^T \cdot \mathbf{H}\left(\mathbf{x}^k\right) \cdot \delta \mathbf{x}
$$
with $\delta \mathbf{x}$ being the difference $\mathbf{x}-\mathbf{x}^k$. As long as $\delta \mathbf{x}$ remains sufficiently small, we can be quite sure that the second-order Taylor expansion $T(\delta \mathbf{x})$ is a sufficiently good approximation of $f(\mathbf{x})$.

As $f(\mathbf{x})$ is approximated by a quadratic form, a candidate of its minimum can be found analytically in a single step by setting the derivative of the quadratic form to zero. This yields a linear system of equations which can be solved with standard techniques (see also Sect. 2.1). Because the Taylor expansion is just an approximation of $f(\mathbf{x})$, its minimization at a single position is usually not sufficient for finding the desired solution. Hence, finding a local minimum of $f(\mathbf{x})$ involves an iterative application of the following two steps:

  1. Approximate $f(\mathbf{x})$ by a second-order Taylor expansion $T(\delta \mathbf{x})$ (see (2.16)).
  2. Calculate the minimizing argument $\delta \mathbf{x}^*$ of this approximation $T(\delta \mathbf{x})$ by setting its first derivative to zero: $\nabla T(\delta \mathbf{x})=\mathbf{0}$

In order for $\delta \mathbf{x}^*$ to be a local minimum of $T(\delta \mathbf{x})$, the following two conditions must hold:

  1. $\nabla T\left(\delta \mathbf{x}^*\right)=\mathbf{0}$.
  2. $\mathbf{H}\left(\mathbf{x}^k\right)$ is positive, i.e., $\mathbf{d}^T \cdot \mathbf{H}\left(\mathbf{x}^k\right) \cdot \mathbf{d}>0$ for every vector $\mathbf{d}$. This is equivalent to the statement that all eigenvalues of $\mathbf{H}\left(\mathbf{x}^k\right)$ are positive real numbers. This condition corresponds to the fact that for one-dimensional functions, their second derivative has to be positive at a local minimum.

Now let’s see how the two steps of Newton’s method can be implemented in practice. First, a differentiation of $T(\delta \mathbf{x})$ with respect to $\delta \mathbf{x}$ yields:
$$
\nabla f(\mathbf{x}) \cong \nabla T(\delta \mathbf{x})=\nabla f\left(\mathbf{x}^k\right)+\mathbf{H}\left(\mathbf{x}^k\right) \cdot \delta \mathbf{x}
$$

计算机代写|计算机视觉代写Computer Vision代考|Gauss-Newton and Levenberg-Marquardt Algorithm

A special case occurs if the objective function $f(\mathbf{x})$ is composed of a sum of squared values:
$$
f(\mathbf{x})=\sum_{i=1}^N r_i(\mathbf{x})^2
$$

Such a specific structure of the objective can be encountered, e.g., in least squares problems, where the $r_i(\mathbf{x})$ are deviations from the values of a regression function to observed data values (so-called residuals). There are numerous vision applications where we want to calculate some coefficients $\mathbf{x}$ such that the regression function fits “best” to the sensed data in a least squares sense.

If the residuals are linear in $\mathbf{x}$, we can apply the linear regression method already presented in Sect. 2.1. Nonlinear $r_i(\mathbf{x})$, however, are a generalization of this regression problem and need a different proceeding to be solved.

Please bear in mind that in order to obtain a powerful method, we always should utilize knowledge about the specialties of the problem at hand if existent. The Gauss-Newton algorithm (see, e.g., [1]) takes advantage of the special structure of $f(\mathbf{x})$ (i.e., $f(\mathbf{x})$ is composed of a sum of residuals) by approximating the secondorder derivative by first-order information.

To understand this, let’s examine how the derivatives used in Newton’s method can be written for squared residuals. Applying the chain rule, the elements of the gradient $\nabla f(\mathbf{x})$ can be written as
$$
\nabla f_j(\mathbf{x})=2 \sum_{i=1}^N r_i(\mathbf{x}) \cdot J_{i j}(\mathbf{x}) \quad \text { with } \quad J_{i j}(\mathbf{x})=\frac{\partial r_i(\mathbf{x})}{\partial x_j}
$$
where the $J_{i j}(\mathbf{x})$ are the elements of the so-called Jacobi matrix $\mathbf{J}{\mathbf{r}}(\mathbf{x})$, which pools first-order derivative information of the residuals. With the help of the product rule, the Hessian $\mathbf{H}$ can be derived from $\nabla f(\mathbf{x})$ as follows: $$ \begin{aligned} H{j l}(\mathbf{x}) &=\frac{\nabla f_j(\mathbf{x})}{\partial x_l}=2 \sum_{i=1}^N\left(\frac{\partial r_i(\mathbf{x})}{\partial x_l} \cdot J_{i j}(\mathbf{x})+r_i(\mathbf{x}) \cdot \frac{\partial J_{i j}(\mathbf{x})}{\partial x_l}\right) \
&=2 \sum_{i=1}^N\left(J_{i l}(\mathbf{x}) \cdot J_{i j}(\mathbf{x})+r_i(\mathbf{x}) \cdot \frac{\partial^2 r_i(\mathbf{x})}{\partial x_j \cdot \partial x_l}\right)
\end{aligned}
$$

计算机代写|计算机视觉代写Computer Vision代考|CITS4402 Second-Order Optimization

计算机视觉代写

计算机代写计算机视觉代写Computer Vision代考|Newton’s Method


牛顿法是二阶连续优化的经典示例(参见例㕩 [2] 以获得更详细的描述)。这里,函数 $f(\mathbf{x})$ 由二阶泰勒展开近似 $T$ 在目前的解决 方宴 $\mathrm{x}^k:$
$$
f(\mathbf{x}) \cong T(\delta \mathbf{x})=f\left(\mathbf{x}^k\right)+\nabla f\left(\mathbf{x}^k\right) \cdot \delta \mathbf{x}+\frac{1}{2} \delta \mathbf{x}^T \cdot \mathbf{H}\left(\mathbf{x}^k\right) \cdot \delta \mathbf{x}
$$
和 $\delta \mathbf{x}$ 与众不同 $\mathbf{x}-\mathbf{x}^k$. 只要 $\delta \mathbf{x}$ 仍然足够小,我们可以确定二阶泰勒展开 $T(\delta \mathbf{x})$ 是一个足够好的近似 $f(\mathbf{x})$.
作为 $f(\mathbf{x})$ 由二次形式近似,通过将二次形式的导数设置为零,可以在单个步骤中解析地找到其最小值的候选者。这产生了一个线 性方程组,可以用标准技术求解 (另见第 $2.1$ 节) 。因为泰勒展开只是 个近似 $f(\mathbf{x})$ ,它在单个位置的最小化通常不足以找到所需

近似 $f(\mathbf{x})$ 通过二阶泰勒展开 $T(\delta \mathbf{x})$ (见 (2.16))。

计算最小化参数 $\delta \mathbf{x}^$ 这个近似值 $T(\delta \mathbf{x})$ 通过将其一阶导数设置为零: $\nabla T(\delta \mathbf{x})=\mathbf{0}$ 为了 $\delta \mathrm{x}^$ 为局部最小值 $T(\delta \mathbf{x})$ ,必须满足以下两个条件:

$\nabla T\left(\delta \mathbf{x}^*\right)=\mathbf{0}$.

$\mathbf{H}\left(\mathbf{x}^k\right)$ 为正,即 $\mathbf{d}^T \cdot \mathbf{H}\left(\mathbf{x}^k\right) \cdot \mathbf{d}>0$ 对于每个向量 $\mathrm{d}$. 这等价于声明所有的特征值 $\mathbf{H}\left(\mathbf{x}^k\right)$ 是正实数。这个条件对应于这 样一个事实: 对于一维函数,它们的二阶导数必须在局部最小值处为正。
现在让我们看看如何在实践中实现牛顿法的两个步骤。第一,差异化 $T(\delta \mathbf{x})$ 关于 $\delta \mathbf{x}$ 产量:
$$
\nabla f(\mathbf{x}) \cong \nabla T(\delta \mathbf{x})=\nabla f\left(\mathbf{x}^k\right)+\mathbf{H}\left(\mathbf{x}^k\right) \cdot \delta \mathbf{x}
$$


计算机代写|计算机视觉代写Computer Vision代考|Gauss-Newton and Levenberg-Marquardt Algorithm


如果目标函数出现特殊情况 $f(\mathbf{x})$ 由平方和组成:
$$
f(\mathbf{x})=\sum_{i=1}^N r_i(\mathbf{x})^2
$$
目标的这种特定结构可能会遇到,例如,在最小二乘问题中,其中 $r_i(\mathbf{x})$ 是回归函数值与观测数据值的偏差 (所佣的残差) 。有许 多视觉应用程序我们想要计算一些系数 $\mathbf{x}$ 使得回归函数在最小二乘意义上”最好”地拟合感则数据。
如果残差在 $\mathbf{x}$ ,我们可以应用第 3 节中已经提出的线性回归方法。2.1。非线性 $r_i(\mathbf{x})$ 然而,是这个回归问题的概括,需要一个不同 的程序来解决。
请记住,为了获得强大的方法,我们总是应该利用有关手头问题的特殊性的知识 (如果存在) 。Gauss-Newton 算法(参见,例 如,[1]) 利用了 $f(\mathbf{x})$ ( $[\mathrm{E} , f(\mathbf{x})$ 由残差之和组成) 通过一阶信息近似二阶导数。
为了理解这一点,让我们检龺一下牛顿方法中使用的导数如何写成平方残差。应用链式法则,梯度的元戳 $\nabla f(\mathrm{x})$ 可以写成
$$
\nabla f_j(\mathbf{x})=2 \sum_{i=1}^N r_i(\mathbf{x}) \cdot J_{i j}(\mathbf{x}) \quad \text { with } \quad J_{i j}(\mathbf{x})=\frac{\partial r_i(\mathbf{x})}{\partial x_j}
$$
在哪里 $J_{i j}(\mathbf{x})$ 是所嗗的雅可比矩阵的元售 $\mathbf{J}(\mathbf{x})$ ,它汇焦了残差的一阶导数信息。在乘积法则的帮助下,Hessian $\mathbf{H}$ 可以从 $\nabla f(\mathbf{x})$ 如下:
$$
H j l(\mathbf{x})=\frac{\nabla f_j(\mathbf{x})}{\partial x_l}=2 \sum_{i=1}^N\left(\frac{\partial r_i(\mathbf{x})}{\partial x_l} \cdot J_{i j}(\mathbf{x})+r_i(\mathbf{x}) \cdot \frac{\partial J_{i j}(\mathbf{x})}{\partial x_l}\right) \quad=2 \sum_{i=1}^N\left(J_{i l}(\mathbf{x}) \cdot J_{i j}(\mathbf{x})+r_i(\mathbf{x}) \cdot \frac{\partial^2 r_i(\mathbf{x})}{\partial x_j \cdot \partial x_l}\right)
$$

计算机代写|计算机视觉代写Computer Vision代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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