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# 物理代写|电磁学代写Electromagnetism代考|PHYS404 Divergence of a Vector Field and Gauss’ Integral Theorem

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## 物理代写|电磁学代写Electromagnetism代考|Divergence of a Vector Field and Gauss’ Integral Theorem

Equation (1.20) is applicable for any volume, in particular for an infinitesimally small one. This allows one to rewrite
$$\int_V \rho d \tau=\rho V=\oint_A \mathbf{D} \bullet d \mathbf{A}$$
or

$$\rho=\lim {V \rightarrow 0} \frac{\oint_A \mathbf{D} \bullet d \mathbf{A}}{V}$$ This is a very important relation in vector analysis. The divergence div a or $\nabla \bullet \mathbf{a}$ for an arbitrary vector field $\mathbf{a}(\mathbf{r})$ is defined as the limit: $$\nabla \bullet \mathbf{a}=\lim {V \rightarrow 0} \frac{\oint_A \mathbf{a} \bullet d \mathbf{A}}{V} \text {. }$$
Comparison of (1.21) with (1.22) reveals
$$\nabla \bullet \mathbf{D}=\rho \text {. }$$
This is the equivalent of (1.20), the differential form of Maxwell’s equation. We will verify that it is in fact a differential equation.
The way we derived this equation also illustrates its significance. We use our previous example of the incompressible fluid where $\oint_A \mathbf{v} \bullet d \mathbf{A}$. Therefore, $\nabla \bullet \mathbf{v}$ can only be non-zero, if fluid flows out of the volume element (source), or flows into it (sink). To apply this to our field lines $\mathbf{E}$ or $\mathbf{D}$, we can say that they can only originate at locations where electric charges are (Fig. 1.6).

## 物理代写|电磁学代写Electromagnetism代考|Work and the Electric Field

A charge $Q$ within the reach of an electric field experiences the force $Q \mathbf{E}$ and moves, if not held fixed in place. The field performs work on the charge. Conversely, to move the charge against the field requires one to do work.
If we move the charge from the starting point $P_A$ along the contour $C_1$ to an endpoint $P_E$ (Fig. 1.9), then the total work we have to do is given by
$$W_1=-\int_{C_1} \mathbf{F} \bullet d \mathbf{s}=-Q \int_{C_1} \mathbf{E} \bullet d \mathbf{s} .$$
This is because $d W$ for the path element $d \mathbf{s}$ is
$$d W_1=-\mathbf{F} \bullet d \mathbf{s} .$$
We could have moved the charge along path $C_2$ with the result:
$$W_2=-\int_{C_2} \mathbf{F} \bullet d \mathbf{s}=-Q \int_{C_2} \mathbf{E} \bullet d \mathbf{s} .$$

## 物理代写电磁学代写Electromagnetism代考|Divergence of a Vector Field and Gauss’ Integral Theorem

$$\int_V \rho d \tau=\rho V=\oint_A \mathbf{D} \bullet d \mathbf{A}$$

$$\rho=\lim V \rightarrow 0 \frac{\oint_A \mathbf{D} \bullet d \mathbf{A}}{V}$$
$$\nabla \bullet \mathbf{a}=\lim V \rightarrow 0 \frac{\oint_A \mathbf{a} \bullet d \mathbf{A}}{V} .$$
$(1.21)$ 与 $(1.22)$ 的比较显示
$$\nabla \bullet \mathbf{D}=\rho .$$

## 物理代写|电磁学代写Electromagnetism代考|Work and the Electric Field

$$W_1=-\int_{C_1} \mathbf{F} \bullet d \mathbf{s}=-Q \int_{C_1} \mathbf{E} \bullet d \mathbf{s} .$$

$$d W_1=-\mathbf{F} \bullet d \mathbf{s} .$$

$$W_2=-\int_{C_2} \mathbf{F} \bullet d \mathbf{s}=-Q \int_{C_2} \mathbf{E} \bullet d \mathbf{s} .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。