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电气工程代写|模拟和数字通信代写Analogue and Digital Communications代考|ECE4664 Periodic Signals and Trigonometric Fourier Series

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电气工程代写|模拟和数字通信代写Analogue and Digital Communications代考|Periodic Signals and Trigonometric Fourier Series

The science of analysis of signals treats signals in a special manner. Let us consider a periodic signal $x_T(t)$ with period $T$ as shown in Fig. 2.20. Since the function is periodic
$$x_T(t)=x_T(t+T)$$
We stipulate that this function may be written as a sum of sine and cosine functions in the following manner:
$$x_T(t)=a_0+\sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos \left(k \omega_0 t\right)+\sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin \left(k \omega_0 t\right)$$
where
$$\frac{2 \pi}{T} \equiv \omega_0$$
is called the fundamental frequency, and each $a_k$ and $b_k$ is a constant. The idea behind this expansion is to convert an arbitrary periodic signal in terms of a ‘standard’ set of other, ‘known,’ periodic signals, which in this case are sine and cosine functions, and the only characterisation feature comprises the constant coefficients $a_k \mathrm{~s}$ and $b_k \mathrm{~s}$.

电气工程代写|模拟和数字通信代写Analogue and Digital Communications代考|Fourier Series of a Pulse Train

Example 2.13 Find the Fourier series of the pulse train depicted in Fig. 2.21.
A pulse train shown in Fig. $2.21$ is written in terms of sines and cosines in the interval $-T / 2 \leq t \leq T / 2$ as
$$p_T(t)=a_0+\sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos \left{k\left(\frac{2 \pi}{T}\right) t\right}+\sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin \left{k\left(\frac{2 \pi}{T}\right) t\right}$$
by virtue of the fact these trigonometric functions form a complete orthogonal set of functions over the period $T$. By (2.53),
\begin{aligned} a_0 &=\frac{1}{T} \int_{-\tau}^\tau d t=\frac{2 \tau}{T} \ a_m &=\frac{2}{T} \int_{-\tau}^\tau \cos \left(m \omega_0 t\right) d t \quad m=1,2, \ldots \ &=\frac{2}{m T \omega_0}\left[\sin \left(m \omega_0 t\right)\right]_{-\tau}^\tau \ &=\frac{2}{m \pi} \sin \left(m \omega_0 \tau\right) \end{aligned}

电气工程代写模拟和数字通信代写Analogue and Digital Communications代 考|Periodic Signals and Trigonometric Fourier Series

$$x_T(t)=x_T(t+T)$$

$$x_T(t)=a_0+\sum_{k=1}^{\infty} a_k \cos \left(k \omega_0 t\right)+\sum_{k=1}^{\infty} b_k \sin \left(k \omega_0 t\right)$$

$$\frac{2 \pi}{T} \equiv \omega_0$$

电气工程代写|模拟和数字通信代写Analogue and Digital Communications代 考|Fourier Series of a Pulse Train

$\backslash \operatorname{left}$ 的分隔符缺失或无法识别

$$a_0=\frac{1}{T} \int_{-\tau}^\tau d t=\frac{2 \tau}{T} a_m \quad=\frac{2}{T} \int_{-\tau}^\tau \cos \left(m \omega_0 t\right) d t \quad m=1,2, \ldots=\frac{2}{m T \omega_0}\left[\sin \left(m \omega_0 t\right)\right]_{-\tau}^\tau \quad=\frac{2}{m \pi} \sin \left(m \omega_0 \tau\right)$$

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。