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# 数学代写|组合数学代写Combinatorial Mathematics代考|CS-E4555 Solutions

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## 数学代写|组合数学代写Combinatorial Mathematics代考|Solutions

14.1 Solutions for Chapter 1
1.1. $6^5 . \quad \mathbf{1 . 2} .4500 . \quad \mathbf{1 . 3 .} 3^4$. 1.4. $36 . \quad$ 1.5. $2^n . \quad$ 1.6. 72000 .
$14.2$ Solutions for Chapter 2
2.1. Digit $c_1$ of the three-digit number $c_1 c_2 c_3$ can be chosen arbitrarily from the set ${1,2, \ldots, 9}$. There are 9 possible choices of digit $c_2$ such that $c_2 \neq c_1$, and there are 8 possible choices of digit $c_3$ such that $c_3 \neq c_1$ and $c_3 \neq c_2$. By the product rule it follows that the number of positive integers with the given properties is equal to $9 \cdot 9 \cdot 8=648$.
2.2. 512. 2.3. $1320 . \quad 2.4 .2^n$. 2.5. (a) 20 , (b) $\left(k_1+1\right)\left(k_2+1\right) \ldots\left(k_m+1\right)$.
2.6. A positive integer $n$ has an odd number of divisors if and only if $n$ is a perfect square.
2.7. Every arrangement of teeth uniquely determines the 32-variation of elements 0 and 1 . Hence, the maximal possible number of citizens is $2^{32}$.
2.8. The number of permutations of the set ${1,2, \ldots, n}$ in which elements 1 and 2 are adjacent, and 1 is placed before 2 , is equal to the number of permutations of the set ${b, 3, \ldots, n}$, where $b$ is notation for 12 , i.e., $(n-1) !$. The number of permutations of the set ${1,2, \ldots, n}$, in which elements 1 and 2 are adjacent, and 1 comes after 2 is the same. Therefore, the number of permutations of the set ${1,2, \ldots, n}$ with adjacent elements 1 and 2 is $2(n-1) !$.
2.9. The number of permutations of the set ${1,2, \ldots n}$ in which element 2 is placed after element 1 (not necessarily in the adjacent position) is equal to the number of permutations in which 2 is placed before 1 . Since the total number of permutations of the $n$-set is equal to $n$ !, it follows that the number we are asking for is equal to $\frac{1}{2} n !$.
2.10. The number of permutations of the set ${1,2, \ldots, n}$ such that element 1 is placed at position $i$, and element 2 is placed at position $j$, where $i \neq j$, and $i, j \in{1,2, \ldots, n}$, is equal to the number of permutations of a set consisting of $n-2$ elements, i.e., $(n-2)$ !. The list of pairs of positions that can be occupied by 1 and 2 is the following: $(1, k+2),(2, k+3), \ldots,(n-k-1, n)$. Hence, there are $n-k-1$ such pairs. Elements 1 and 2 can occupy any of these pairs in 2 ways. Hence, the number of permutations that satisfy the given conditions is $2(n-k-1)(n-2) !$.

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3.1. $\left(\begin{array}{c}20 \ 14\end{array}\right) 3^{14} 2^{-6}$
3.2. $\left(\begin{array}{l}15 \ 12\end{array}\right)(\sqrt{2})^3(\sqrt[3]{3})^{12}=73710 \sqrt{2} . \quad$ 3.3. 17
3.4. The sum of all coefficients is the value of the polynomial for $x=1$ and is equal to 1 .
3.5. All terms that contain $\sqrt{2}$ vanish.
3.6. $n=7, k=2 . \quad$ 3.7. $n=14, k=6$.
3.8. By the binomial theorem it follows that
$$(1+x)^n=1+n x+\sum_{k=2}^n\left(\begin{array}{l} n \ k \end{array}\right) x^k \geqslant 1+n x, \quad \text { if } x \geqslant 0$$

3.9. Hint. Use the Bernoulli inequality, the binomial theorem and the fact that for $k \in{2,3, \ldots, n}$ the inequalities $\left(\begin{array}{l}n \ k\end{array}\right) \frac{1}{n^k}<\frac{1}{k !}<\frac{1}{2^{k-1}}$ hold.
3.10. From the binomial theorem it follows that
$$(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n=2\left[2^n+\left(\begin{array}{l} n \ 2 \end{array}\right) 2^{n-2} 3+\left(\begin{array}{c} n \ 4 \end{array}\right) 2^{n-4} 3^2+\cdots\right] .$$
Therefore, $(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n$ is an even positive integer. Since $0<$ $(2-\sqrt{3})^n<1$, it follows that $\left[(2+\sqrt{3})^n\right]=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n-1$, i.e., $\left[(2+\sqrt{3})^n\right]$ is an odd positive integer.
3.11. For every positive integer $n$ it follows by the binomial theorem that
$$\left(n+\sqrt{n^2+1}\right)^n-\left(\sqrt{n^2+1}-n\right)^n=x_n \in \mathbb{N} .$$
For $n \geqslant 5$ we obtain
\begin{aligned} y_n &=\left(\sqrt{n^2+1}-n\right)^n=\frac{1}{\left(\sqrt{n^2+1}+n\right)^n} \ & \leqslant \frac{1}{(\sqrt{26}+5)^n}<10^{-n}=0 \cdot \underbrace{00 \ldots 0}_{n-1} 1 . \end{aligned}
Since $\left(n+\sqrt{n^2+1}\right)^n=x_n+y_n$, the statement follows.

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$14.1$ 第 1 章的解决方案
1.1。 $6^5$. 1.2.4500. 1.3.34. 1.4.36. 1.5. $2^n . \quad 1.6 .72000$.
$14.2$ 第 2 章的解决方案
2.1。数字 $c_1$ 三位数的 $c_1 c_2 c_3$ 可以从堆合中任意选择 $1,2, \ldots, 9$. 有 9 种可能的数字选择 $c_2$ 这样 $c_2 \neq c_1$ ，并且有 8 种可能的数字选

2.2. 512. 2.3. $1320 . \quad 2.4 .2^n \cdot 2.5$. (a) 20 （b $\left(k_1+1\right)\left(k_2+1\right) \ldots\left(k_m+1\right)$.
2.6. 一个正整数 $n$ 有奇数个除数当且仅当 $n$ 是一个完美的正方形。
2.7. 牙齿的每一种排列都唯一地决定了元轸 0 和 1 的 32 种变化。因此，最大可能的公民人数是 $2^{32}$.
2.8. 集合的排列数 $1,2, \ldots, n$ 其中元㗑 1 和 2 相邻，并且 1 放在 2 之前，等于集合的排列数 $b, 3, \ldots, n$ ，在哪里 $b$ 是 12 的符号，

$(1, k+2),(2, k+3), \ldots,(n-k-1, n)$. 因此，有 $n-k-1$ 这样的对。元塐 1 和 2 可以以 2 种方式占据这些对中的任何 一个。因此，满足给定条件的排列数是 $2(n-k-1)(n-2) !$.

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3.1. $(2014) 3^{14} 2^{-6}$
3.2. $(1512)(\sqrt{2})^3(\sqrt[3]{3})^{12}=73710 \sqrt{2} . \quad$ 3.3. 17
3.4。所有系数的总和是多项式的值 $x=1$ 并且等于 1 。
3.5. 包含的所有条款 $\sqrt{2}$ 消失。
$$\text { 3.6. } n=7, k=2 \text {. 3.7. } n=14, k=6 \text {. }$$
3.8. 由二项式定理可知
$$(1+x)^n=1+n x+\sum_{k=2}^n(n k) x^k \geqslant 1+n x, \quad \text { if } x \geqslant 0$$
3.9. 暗二示。使用伯努利不等式、二项式定理和事实 $k \in 2,3, \ldots, n$ 不平等 $(n k) \frac{1}{n^k}<\frac{1}{k !}<\frac{1}{2^{k-1}}$ 抓住。
3.10。从二项式定理可以得出
$$(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n=2\left[2^n+(n 2) 2^{n-2} 3+(n 4) 2^{n-4} 3^2+\cdots\right] .$$

3.11。对于每个正整数 $n$ 它遭循二项式定理
$$\left(n+\sqrt{n^2+1}\right)^n-\left(\sqrt{n^2+1}-n\right)^n=x_n \in \mathbb{N}$$

$$y_n=\left(\sqrt{n^2+1}-n\right)^n=\frac{1}{\left(\sqrt{n^2+1}+n\right)^n} \quad \leqslant \frac{1}{(\sqrt{26}+5)^n}<10^{-n}=0 \cdot \underbrace{00 \ldots 0}_{n-1} 1$$

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