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# 数学代写|数论代写Number Theory代考|MAST90136 Derivation of Dirichlet’s Class Number Formula

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## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Finiteness of Class Number

For deducing Dirichlet’s Class Number Formula from Ideal Theorem, we define Dirichlet series ${ }^2$ and study their properties.

Definition. A series of the form $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}$, where $a_n$ are complex numbers, is called Dirichlet series. In the particular case when $a_n=1 \forall n$, this was introduced by Bernhard Riemann and is called Riemann zeta-function.

Proposition 9.5 The series $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}$ converges for $s>1$. Its sum function denoted by $\zeta(s)$ (Riemann zeta-function) for $s>1$ is a continuous function of $s$ in $(1, \infty)$ and $\lim _{s \rightarrow 1^{+}}(s-1) \zeta(s)=1$.

Proof When $s>1$, then $\frac{1}{x^s}$ is a monotonically decreasing function of $x$ in the interval $(0, \infty)$. Therefore for $s>1$, we have
$$\int_n^{n+1} \frac{d x}{x^s}<\frac{1}{n^s}<\int_{n-1}^n \frac{d x}{x^s},$$ where the above inequality on the left hand side holds for $n \geq 1$ and on the right hand side it holds for $n \geq 2$. Hence for $N>1$,

$$\int_1^{N+1} \frac{d x}{x^s}<\sum_{n=1}^N \frac{1}{n^s}<1+\int_1^N \frac{d x}{x^s}$$ Since $\int_1^{\infty} \frac{d x}{x^s}$ converges for $s>1$, taking limit as $N \rightarrow \infty$, we have
$$\int_1^{\infty} \frac{d x}{x^s} \leq \zeta(s) \leq 1+\int_1^{\infty} \frac{d x}{x^s}$$
and hence
$$\frac{1}{s-1} \leq \zeta(s) \leq 1+\frac{1}{s-1} .$$

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Applications of Dirichlet’s Class Number Formula

The next two theorems are applications of Dirichlet’s Class Number Formula.
Theorem 9.10 An algebraic number field $K$ has infinite number of prime ideals $\mathfrak{p}$ such that the absolute residual degree of $\mathfrak{p}$ is 1.

Proof For a non-zero prime ideal $\mathfrak{p}$ of $\mathcal{O}K$, let $f{\mathfrak{p}}$ denote its absolute residual degree, then $N(\mathfrak{p})=p^{f_{\mathfrak{p}}}$, where $p$ is the rational prime lying below $\mathfrak{p}$. By Euler’s product formula for $s>1$

$$\zeta_K(s)=\prod_{\mathfrak{p}}\left(1-\frac{1}{N(\mathfrak{p})^s}\right)^{-1}$$
Taking log of both sides in the above equation, we obtain for $s>1$
$$\log \zeta_K(s)=\sum_{\mathfrak{p}} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m N(\mathfrak{p})^{m s}}$$

## 数学代写数论代写Number Theory代考|Finiteness of Class Number

$$\int_1^{N+1} \frac{d x}{x^s}<\sum_{n=1}^N \frac{1}{n^s}<1+\int_1^N \frac{d x}{x^s}$$ 自从 $\int_1^{\infty} \frac{d x}{x^s}$ 收敛于 $s>1$, 取极限为 $N \rightarrow \infty$ ，我们有
$$\int_1^{\infty} \frac{d x}{x^s} \leq \zeta(s) \leq 1+\int_1^{\infty} \frac{d x}{x^s}$$

$$\frac{1}{s-1} \leq \zeta(s) \leq 1+\frac{1}{s-1}$$

## 数学代写数论代写Number Theory代考|Applications of Dirichlet’s Class Number Formula

$$\zeta_K(s)=\prod_p\left(1-\frac{1}{N(\mathfrak{p})^s}\right)^{-1}$$

$$\log \zeta_K(s)=\sum_{\mathfrak{p}} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m N(\mathfrak{p})^{m s}}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。