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# 数学代写|数论代写Number Theory代考|MATH25 Numerical Characters and L-functions

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## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Numerical Characters and L-functions

In this chapter, we give a simplified version of Dirichlet’s Class Number Formula for cyclotomic and quadratic fields using special kind of Dirichlet’s series called $L$ functions attached to numerical characters and derive Dirichlet’s Theorem for primes in arithmetic progressions. We first define these notions and prove some basic results regarding characters of finite abelian groups.

Definition. Let $G$ be a finite abelian group. By a character $\chi$ of $G$, we mean a homomorphism $\chi: G \longrightarrow{z:|z|=1, z \in \mathbb{C}}$. If $G$ has order $n$ and $e$ is the identity of $G$, then for $x \in G, x^n=e$ which implies that $\chi(x)^n=\chi\left(x^n\right)=\chi(e)=1$. So $\chi(G)$ is contained in the group of $n$th root of unity.

Note that if $G$ is a cyclic group of order $m$ generated by $a$, then $G$ has exactly $m$ characters $\chi_0, \ldots, \chi_{m-1}$, defined by $\chi_i(a)=\epsilon^i$, where $\epsilon$ is a fixed primitive $m$ th root of unity. In fact this is true for every finite abelian group as asserted by the following proposition.

Proposition 10.1 The number of characters of a finite abelian group equals the order of the group.

Proof We can write $G=\prod_{i=1}^s G_i$ as a direct product of cyclic groups. Suppose $G_i$ is generated by $a_i$ and $G_i$ has order $m_i$. Any element $x \in G$ is of the form
$$x=a_1^{k_1} a_2^{k_2} \cdots a_s^{k_s} .$$

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Simplification of Class Number Formula for Cyclotomic Fields

Let $K=\mathbb{Q}(\zeta)$, where $\zeta$ is a primitive $m$ th root of unity, $m \geq 3$. We want to simplify Dirichlet’s Class Number Formula for $K$. Keeping in mind that $K$ has no real isomorphism and Dirichlet’s Class Number formula given by (9.1), we have
$$\lim {s \rightarrow 1^{+}}(s-1) \zeta_K(s)=h \frac{(2 \pi)^{\frac{\phi(m)}{2}} R}{w \sqrt{\left|d_K\right|}},$$ where $h$ is the class number of $K, R$ is the regulator of $K$ and $w$ is the number of roots of unity contained in $K$. In view of Lemma $8.30, w=m$ or $2 m$ according as $m$ is even or odd. By Euler’s Product formula, $\zeta_K(s)=\prod{\mathfrak{p}}\left(1-\frac{1}{N(\mathfrak{p})^s}\right)^{-1}$ for $\mathrm{s}>1$, where $\mathfrak{p}$ runs over all non-zero prime ideals of $\mathcal{O}_K$. We shall first write the above product in a clear manner.

For $s>0$, define $G(s)=\prod_{p \mid m} \prod_{\mathfrak{p} \mid p}\left(1-\frac{1}{N(\mathfrak{p})^s}\right)^{-1}$. If $\mathfrak{p}$ is a prime ideal of $\mathcal{O}K$ lying over a rational prime $p$ not dividing $m$, then we denote the absolute residual degree of $\mathfrak{p}$ by $f_p$, it is independent of the choice of $\mathfrak{p}$ lying over $p$ in view of Theorem 4.3. In fact $f_p$ is the smallest positive integer such that $p^{f_p} \equiv 1(\bmod m)$ by Theorem 4.13. Also the number of distinct prime ideals $\mathfrak{p}$ of $\mathcal{O}_K$ lying over $p$ is $\frac{\phi(m)}{f_p}$. Thus for $s>1$, we can write $$\zeta_K(s)=G(s) \prod{p \nmid m}\left(1-\frac{1}{p^{s f_p}}\right)^{-\frac{\phi(m)}{f p}} .$$

## 数学代写数论代写Number Theory代考|Numerical Characters and L-functions

$$x=a_1^{k_1} a_2^{k_2} \cdots a_s^{k_s} .$$

## 数学代写数论代写Number Theory代考|Simplification of Class Number Formula for Cyclotomic Fields

(9.1) 给出的 Dirichlet 类数公式，我们有
$$\lim {s \rightarrow} 1^{+}(s-1) \zeta_K(s)=h \frac{(2 \pi)^{\frac{\phi(m)}{2}} R}{w \sqrt{\left|d_K\right|}},$$ 在哪䧉 $h$ 是班级编号 $K, R$ 是调节器 $K$ 和 $w$ 是包含在 $K$. 㧛于引理 $8.30, w=m$ 或者 $2 m$ 根据为 $m$ 是偶敉还是奇数。由欧拉积公 式， $\zeta_K(s)=\prod \mathfrak{p}\left(1-\frac{1}{N(\mathrm{p})^s}\right)^{-1}$ 为了s $>1$ ，在哪里 $p$ 遍历所有非零雔理想 $\mathcal{O}_K$. 我们先把上面的产昭写清楚。 为了 $s>0$ ，定义 $G(s)=\prod{p \mid m} \prod_{p \mid p}\left(1-\frac{1}{N(p)^s}\right)^{-1}$.如果p是一个主要理想 $\mathcal{O} K$ 位于理性䨂数之上 $p$ 不分 $m$ ，那么我们表示 有不同的腈理想的数量 $\mathrm{p}$ 的 $\mathcal{O}_K$ 秱着 $p$ 是 $\frac{\phi(m)}{f_p}$. 因此对于 $s>1$ ，我们可以写
$$\zeta_K(s)=G(s) \prod p \nmid m\left(1-\frac{1}{p^{s f_p}}\right)^{-\frac{\phi(m)}{\frac{p}{p}}}$$

## MATLAB代写

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