如果你也在 怎样代写数论Number theory MATH11226个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。
数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。
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数学代写|数论代写Number Theory代考|Finiteness of Class Number
Definition. Let $K$ be an algebraic number field. Let $G(K)$ denote the group of all non-zero fractional ideals of $K$ and $P(K)$ the subgroup of all non-zero principal fractional ideals of $K$. The group $G(K) / P(K)$ is called the class group or the ideal class group of $K$ and its order is called the class number of $K$. It will be shown that $G(K) / P(K)$ is a finite group. A member of $G(K) / P(K)$ is called an ideal class of $K$.
In this section, we prove.
Theorem 8.1 The group of ideal classes of an algebraic number field is finite.
We shall first prove the following theorem from which the above theorem will be deduced.
Theorem 8.2 Let $K$ be an algebraic number field different from $\mathbb{Q}$. Then in every ideal class of $K$, there exists an integral ideal B of $\mathcal{O}K$ such that $N(B)<\sqrt{\left|d_K\right|}$. Proof Let $\mathcal{C}$ be any ideal class of $K$ and $C$ be a fixed ideal belonging to $\mathcal{C}$. Since $C^{-1}$ is a fractional ideal, there exists a non-zero element $\beta$ of $\mathcal{O}_K$ such that $\beta C^{-1} \subseteq \mathcal{O}_K$. Then $A=\beta C^{-1}$ is an integral ideal of $\mathcal{O}_K$ such that $A C$ is a principal ideal. Fix a $\mathbb{Z}$-basis $\left{\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right}$ of $A$. Let $\sigma_1, \ldots, \sigma{r_1}$ be all the real isomorphisms of $K$ and $\sigma_{r_1+1}, \ldots, \sigma_{r_1+2 r_2}$ be the non-real isomorphisms of $K$ which are arranged such that $\bar{\sigma}{r_1+j}=\sigma{r_1+r_2+j}$ for $1 \leq j \leq r_2$.
Define linear forms $L_1, L_2, \ldots, L_n$ by
$$
L_i\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)=\sigma_i\left(\alpha_1\right) x_1+\sigma_i\left(\alpha_2\right) x_2+\cdots+\sigma_i\left(\alpha_n\right) x_n .
$$
The absolute value of the determinant of these linear forms is
$$
\left|\operatorname{det}\left(\sigma_i\left(\alpha_j\right)\right){i, j}\right|=\sqrt{\left|D{K / \mathbb{Q}}\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right)\right|}
$$
which in view of Theorem $2.15$ equals $\left[\mathcal{O}_K: A\right] \sqrt{\left|d_K\right|}$. Define constants $c_i$ by
$$
c_i=\left(\left[\mathcal{O}_K: A\right] \sqrt{\left|d_K\right|}\right)^{\frac{1}{n}} \text { for } 1 \leq i \leq n .
$$
数学代写|数论代写Number Theory代考|Minkowski’s Convex Body Theorem
Definition. A set $S$ contained in $\mathbb{R}^n$ is said to be convex if whenever $x, y \in S$, then $\lambda x+(1-\lambda) y \in S$ for all $\lambda \in \mathbb{R}$ such that $0 \leq \lambda \leq 1$.
Definition. A set $S$ contained in $\mathbb{R}^n$ is said to be centrally symmetric if whenever $x \in S$, then $-x \in S$.
Example 8.8 Let $A=\left(a_{i j}\right){n \times n}$ be a non-singular matrix with entries from $\mathbb{R}$ and $c_1, c_2, \ldots, c_n$ be fixed positive constants. We show that the set $$ P=\left{x \in \mathbb{R}^n:\left|a{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n\right|<c_1, \ldots,\left|a_{n 1} x_1+\cdots+a_{n n} x_n\right|<c_n\right}
$$
is a convex set. To verify this, define linear forms $L_1, L_2, \ldots, L_n$ in $X=$ $\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)$ by $L_i(X)=\sum_{j=1}^n a_{i j} X_j, 1 \leq i \leq n$. Suppose $x, y \in P$ and $\lambda \in \mathbb{R}$ is such that $0 \leq \lambda \leq 1$. We have $\left|L_i(x)\right|<c_i$ and $\left|L_i(y)\right|<c_i$ for $1 \leq i \leq n$. Now $\left|L_i(\lambda x+(1-\lambda) y)\right|=\left|\lambda L_i(x)+(1-\lambda) L_i(y)\right| \leq \lambda\left|L_i(x)\right|+(1-\lambda)\left|L_i(y)\right|<c_i$ for all $i$. Thus $\lambda x+(1-\lambda) y \in P$.
Definition. By an $n$-dimensional lattice in $\mathbb{R}^n$, we mean a subgroup of $\mathbb{R}^n$ which is generated as a group by $n$ linearly independent vectors over $\mathbb{R}$. Such a set of generators is called a basis of the lattice. If $\left{A_1, A_2, \ldots, A_n\right}$ and $\left{B_1, B_2, \ldots, B_n\right}$ are two bases of a lattice $\mathfrak{L}$, then there exists an $n \times n$ unimodular matrix $U$ such that
$$
\left[\begin{array}{c}
A_1 \
A_2 \
\vdots \
A_n
\end{array}\right]=U\left[\begin{array}{c}
B_1 \
B_2 \
\vdots \
B_n
\end{array}\right]
$$
So the absolute value of the determinant of the matrix with row vectors $A_1, A_2, \ldots, A_n$ is well defined. It is called the determinant of $\mathfrak{L}$. In what follows all lattices under consideration are $n$-dimensional.
For example, $\mathfrak{L}_0=\left{\left(a_1, \ldots, a_n\right): a_i \in \mathbb{Z}\right}$ is a lattice in $\mathbb{R}^n$ called the fundamental lattice or integral lattice and has got basis ${(1,0, \ldots, 0),(0,1,0, \ldots, 0), \ldots$, $(0,0, \ldots, 1)}$. Clearly $\operatorname{det}\left(\mathfrak{L}_0\right)=1$.
数论代写
数学代写数论代写Number Theory代考|Finiteness of Class Number
定义。让 $K$ 是一个代数数域。让 $G(K)$ 表示所有非零分数理想的群 $K$ 和 $P(K)$ 的所有非零主分数理想的子群 $K$. 群组
$G(K) / P(K)$ 称为类群或理想类群 $K$ 它的顺序称为类号 $K$. 这将表明 $G(K) / P(K)$ 是一个有限群。的成员 $G(K) / P(K)$ 被称为
理想类 $K$.
在本节中，我们证明。
定理 $8.1$ 代数数域的理想尖群是有限的。
我们将首先证明将推导出上述定理的以下定理。
定理 $8.2$ 让 $K$ 是一个不同于 $\mathbb{Q}$. 那么在每一个理想类 $K$, 存在一个积分理想 $\mathrm{B} \mathcal{O} K$ 这样 $N(B)<\sqrt{\left|d_K\right|}$. 证明让 $\mathcal{C}$ 是任何理想类 $K$ 和 $C$ 是一个固定的理愳属于 $\mathcal{C}$. 自从 $C^{-1}$ 是分数理想，存在一个非零元綁 $\beta$ 的 $\mathcal{O}K$ 这样 $\beta C^{-1} \subseteq \mathcal{O}_K$. 然后 $A=\beta C^{-1}$ 是 个完整 的理想 $\mathcal{O}_K$ 这样 $A C$ 是一个主要理想。修西一个 $\mathbb{Z}$-基础 lleft 的分隔符缺失或无法识别 的 $A$. 让 $\sigma_1, \ldots, \sigma r_1$ 是 所有真正的同构 $K$ 和 $\sigma{r_1+1}, \ldots, \sigma_{r_1+2 r}$ 是的非实同构 $K$ 排列成䢒样 $\bar{\sigma} r_1+j=\sigma r_1+r_2+j$ 为了 $1 \leq j \leq r_2$. 定义线侏形式 $L_1, L_2, \ldots, L_n$ 经过
$$
L_i\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)=\sigma_i\left(\alpha_1\right) x_1+\sigma_i\left(\alpha_2\right) x_2+\cdots+\sigma_i\left(\alpha_n\right) x_n .
$$
这些线性形式的行列式的绝对值是
$$
\left|\operatorname{det}\left(\sigma_i\left(\alpha_j\right)\right) i, j\right|=\sqrt{\left|D K / \mathbb{Q}\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right)\right|}
$$
㧛于定理 $2.15$ 等于 $\left[\mathcal{O}K: A\right] \sqrt{\left|d_K\right|}$. 定义常量 $c_i$ 经过 $$ c_i=\left(\left[\mathcal{O}_K: A\right] \sqrt{\left|d_K\right|}\right)^{\frac{1}{n}} \text { for } 1 \leq i \leq n . $$
数学代写|数论代写Number Theory代考|Minkowski’s Convex Body Theorem
定义。一鋠 $S$ 包含在 $\mathbb{R}^n$ 据说是凸的，如果 $x, y \in S$ ，然后 $\lambda x+(1-\lambda) y \in S$ 对所有人 $\lambda \in \mathbb{R}$ 这样 $0 \leq \lambda \leq 1$. 例 $8.8$ 让 $A=\left(a{i j}\right) n \times n$ 是 个非奇异矩阵，其条目来自脈和 $c_1, c_2, \ldots, c_n$ 是固定的正常数。我们证明集合
〈left 的分隔符缺失或无法识别
是一个凸集。为了验证这一点，定义线性形式 $L_1, L_2, \ldots, L_n$ 在 $X=\left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)$ 经过
$L_i(X)=\sum_{j=1}^n a_{i j} X_j, 1 \leq i \leq n$. 认为 $x, y \in P$ 和 $\lambda \in \mathbb{R}$ 是这样的 $0 \leq \lambda \leq 1$. 我们有 $\left|L_i(x)\right|<c_i$ 和 $\left|L_i(y)\right|<c_i$ 为了
$1 \leq i \leq n$. 现在 $\left|L_i(\lambda x+(1-\lambda) y)\right|=\left|\lambda L_i(x)+(1-\lambda) L_i(y)\right| \leq \lambda\left|L_i(x)\right|+(1-\lambda)\left|L_i(y)\right|<c_i$ 对所有人 $i$. 因此 $\lambda x+(1-\lambda) y \in P$
定义。由一个 $n$ 维晶格 $\mathbb{R}^n$ ，我们的意思是一个子群䄳 ${ }^n$ 它是由一组生成的 $n$ 线性无关向量 $\mathbb{R}$. 这样的一组生成元称为格的其。如果
〈left 的分隔符缺失或无法识别 和〈left 的分隔符缺失或无法识别 是格子的两个基 $\mathfrak{L}$, 那么存 在一个 $n \times n$ 单模矩阵 $U$ 这样
$$
\left[A_1 A_2 \vdots A_n\right]=U\left[B_1 B_2 \vdots B_n\right]
$$
例如，〈left 的分隔符缺失或无法识别 是一个格子 $\mathbb{R}^n$ 称为甚本格或积分格，并且有基础 $(1,0, \ldots, 0),(0,1,0, \ldots, 0), \ldots \$, \$(0,0, \ldots, 1)$. 清楚地det $\left(\mathfrak{L}_0\right)=1$.
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。