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数学代写|实分析代写Real Analysis代考|MATH350 Uniform Convergence and Continuity

如果你也在 怎样代写实分析Real Analysis MATH350这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。实分析Real Analysis在数学中,实分析是数学分析的一个分支,研究实数、实数序列和实数函数的行为。实分析研究的实值序列和函数的一些特殊性质包括收敛性、极限、连续性、平稳性、可微分性和可整定性。

实分析Real Analysis中的各种观点可以从实线中归纳到更广泛或更抽象的背景中。这些概括将实分析与其他学科和子学科联系起来。例如,将连续函数和紧凑性等思想从实分析中概括到公制空间和拓扑空间,将实分析与一般拓扑学领域联系起来,而将有限维欧几里得空间概括到无限维类似物,导致了巴纳赫空间和希尔伯特空间的概念,以及更广泛的函数分析。乔治-康托对实数的集合和序列、它们之间的映射以及实数分析的基础问题的研究催生了天真的集合理论。对函数序列收敛问题的研究,最终产生了作为数学分析的一个分支学科的傅里叶分析。

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数学代写|实分析代写Real Analysis代考|MATH350 Uniform Convergence and Continuity

数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Uniform Convergence and Continuity

In this section, we will prove that the limit of a uniformly convergent sequence of continuous functions is again continuous. Prior to proving this result, we first prove a stronger result that will have additional applications later.

THEOREM 8.3.1 Suppose $\left{f_n\right}$ is a sequence of real-valued functions that converges uniformly to a function $f$ on a subset $E$ of a metric space $(X, d)$. Let $p$ be a limit point of $E$, and suppose that for each $n \in \mathbb{N}$,
$$
\lim {x \rightarrow p} f_n(x)=A_n . $$ Then the sequence $\left{A_n\right}$ converges and $$ \lim {x \rightarrow p} f(x)=\lim {n \rightarrow \infty} A_n . $$ Remark. The last statement can be rewritten as $$ \lim {x \rightarrow p}\left(\lim {n \rightarrow \infty} f_n(x)\right)=\lim {n \rightarrow \infty}\left(\lim _{x \rightarrow p} f_n(x)\right) .
$$
It should be noted that $p$ is not required to be a point of $E$; only a limit point of $E$.

Proof. Let $\epsilon>0$ be given. Since the sequence $\left{f_n\right}$ converges uniformly to $f$ on $E$, there exists a positive integer $n_o$ such that
$$
\left|f_n(x)-f_m(x)\right|<\epsilon
$$

for all $n, m \geq n_o$ and all $x \in E$. Since (2) holds for all $x \in E$, letting $x \rightarrow p$ gives
$$
\left|A_n-A_m\right| \leq \epsilon, \quad \text { for all } n, m \geq n_o
$$

数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Uniform Convergence and Integration

In Example 8.1.2(c) we provided an example of a sequence of Riemann integrable functions that converges pointwise, but for which the limit function is not Riemann integrable. Furthermore, in Example 8.1.2(d) we provided an example of a seuence of continuous function on $[0,1]$ for which $\lim {n \rightarrow \infty} f_n(x)=0$ for all $x \in[0,1]$ but for which $$ \int_0^1 f_n(x) d x=\frac{1}{2} \frac{n}{n+1} $$ Thus $\lim {n \rightarrow \infty} \int_0^1 f_n(x) \neq \int_0^1 \lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x) d x$. Hence, pointwise convergence, even if the limit function is Riemann integrable, is also not sufficient for the interchange of limits.

In this section, we will prove that uniform convergence of a sequence $\left{f_n\right}$ of Riemann integrable functions is again sufficient for the limit function $f$ to be Riemann integrable, and for convergence of the definite integrals of $f_n$ to the definite integral of $f$. The analogous result for the Riemann-Stieltjes integral is left to the exercises (Exercise 2).

THEOREM 8.4.1 Suppose $f_n \in \mathcal{R}[a, b]$ for all $n \in \mathbb{N}$, and suppose that the sequence $\left{f_n\right}$ converges uniformly to $f$ on $[a, b]$. Then $f \in \mathcal{R}[a, b]$ and
$$
\int_a^b f(x) d x=\lim {n \rightarrow \infty} \int_a^b f_n(x) d x . $$ Proof. For each $n \in \mathbb{N}$, set $$ \epsilon_n=\max {x \in[a, b]}\left|f_n(x)-f(x)\right| .
$$
Since $f_n \rightarrow f$ uniformly on $[a, b]$, by Theorem 8.2.5, $\lim _{n \rightarrow \infty} \epsilon_n=0$. Also, for all $x \in[a, b]$
$$
f_n(x)-\epsilon_n \leq f(x) \leq f_n(x)+\epsilon_n
$$
Hence
$$
\int_a^b\left(f_n-\epsilon_n\right) \leq \underline{\int_a^b f} \leq \overline{\int_a^b} f \leq \int_a^b\left(f_n+\epsilon_n\right)
$$
Therefore
$$
0 \leq \overline{\int_a^b} f-\underline{\int_a^b} f \leq 2 \epsilon_n[b-a]
$$

数学代写|实分析代写Real Analysis代考|MATH350 Uniform Convergence and Continuity

实分析代写

数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Uniform Convergence and Continuity


在本节中,我们将证明一个一致收敛的连续函数序列的极限又是连续的。在证明这个结果之前,我们首先证明一个更强的结果,以 后会有更多的应用。
定理 8.3.1 假设 lleft 的分隔符缺失或无法识别 是一敨收敛到一个函数的实值函数序列 $f$ 在一个子集上 $E$ 度量空 间的 $(X, d)$. 让成为一个极限点 $E$ ,并假设对于每个 $n \in \mathbb{N}$ ,
$$
\lim x \rightarrow p f_n(x)=A_n .
$$
然后是序列 lleft 的分隔符缺失或无法识别
$$
\lim x \rightarrow p f(x)=\lim n \rightarrow \infty A_n .
$$
评论。最后一条语句可以改写为
$$
\lim {x \rightarrow p}\left(\lim n \rightarrow \infty f_n(x)\right)=\lim n \rightarrow \infty\left(\lim {x \rightarrow p} f_n(x)\right)
$$
应当指出的是 $p$ 不需要是 个点 $E$; 只是 个极限点 $E$.
证明。让 $\epsilon>0$ 被给予。由于序列 left 的分隔符缺失或无法识别 均匀地收敛到 $f$ 上,存在一个正整数 $n_0$ 这样
$$
\left|f_n(x)-f_m(x)\right|<\epsilon
$$
对所有人 $n, m \geq n_o$ 和所有 $x \in E$. 因为 (2) 对所有人都成立 $x \in E$ ,让 $x \rightarrow p$ 拈
$$
\left|A_n-A_m\right| \leq \epsilon, \quad \text { for all } n, m \geq n_o
$$


数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Uniform Convergence and Integration


在示例 8.1.2(c) 中,我们提供了一系列黎夢可积函数的示例,这些函数逐点收敛,但其极限函数不是黎蔓可积的。此外,在示例 8.1.2(d) 中,我们提供了一个连续函数序列的示例 $[0,1]$ 为此 $\operatorname{iim} n \rightarrow \infty f_n(x)=0$ 对所有人 $x \in[0,1]$ 但是为了哪个
$$
\int_0^1 f_n(x) d x=\frac{1}{2} \frac{n}{n+1}
$$
因此 $\lim n \rightarrow \infty \int_0^1 f_n(x) \neq \int_0^1 \lim {n \rightarrow \infty} f_n(x) d x$. 因此,即使极限函数是黎曼可积的,逐点收敛也不足以交换极限。 在本节中,我们将证明序列的一致收敛 left 的分隔符缺失或无法识别 的黎蔓可积函数再次足以满足极限函数 $f$ 是黎蔓可积的,并且对于定积分的收敛 $f_n$ 的定积分 $f$. Riemann-Stieltjes 积分的类似结果留给练习 (练习 2) 。 定理 8.4.1 假设 $f_n \in \mathcal{R}[a, b]$ 对所有人 $n \in \mathbb{N}$ ,并假设序列 $\backslash$ left 的分隔符缺失或无法识别 均匀地收敛到 $f$ 上 $[a, b]$. 然后 $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 和 $$ \int_a^b f(x) d x=\lim n \rightarrow \infty \int_a^b f_n(x) d x $$ 证明。对于每个 $n \in \mathbb{N}$ ,放 $$ \epsilon_n=\max x \in[a, b]\left|f_n(x)-f(x)\right| . $$ 自从 $f_n \rightarrow f$ 一致地 $[a, b]$ ,由定理 8.2.5, $\lim {n \rightarrow \infty} \epsilon_n=0$. 另外,对于所有人 $x \in[a, b]$
$$
f_n(x)-\epsilon_n \leq f(x) \leq f_n(x)+\epsilon_n
$$
因此
$$
\int_a^b\left(f_n-\epsilon_n\right) \leq \underline{\int_a^b f} \leq \overline{\int_a^b} f \leq \int_a^b\left(f_n+\epsilon_n\right)
$$
所以
$$
0 \leq \overline{\int_a^b} f-\underline{\int_a^b} f \leq 2 \epsilon_n[b-a]
$$

数学代写|实分析代写Real Analysis代考

数学代写|实分析代写Real Analysis代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。

微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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