Posted on Categories:Real analysis, 实分析, 数学代写

# 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|MATH351 Diﬀﬀerentiation of Power Series

avatest™

## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

•最快12小时交付

•200+ 英语母语导师

•70分以下全额退款

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Diﬀﬀerentiation of Power Series

Suppose the power series $\sum_{k=0}^{\infty} a_k(x-c)^k$ has radius of convergence $R>0$. If we differentiate the series term-by-term we obtain the new power series
$$\sum_{k=1}^{\infty} k a_k(x-c)^{k-1}=\sum_{k=0}^{\infty}(k+1) a_{k+1}(x-c)^k .$$
The obvious question to ask is, what is the radius of convergence of the differentiated series (15)? Furthermore, if $f$ is defined by $f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k(x-c)^k$, $|x-c|<R$, does the series (15) converge to $f^{\prime}(x)$ ? The answers to both of these questions are provided by the following theorem.

THEOREM 8.7.7 Suppose $\sum_{k=0}^{\infty} a_k(x-c)^k$ has radius of convergence $R>0$, and
$$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k(x-c)^k, \quad|x-c|<R$$
Then
(a) $\sum_{k=1}^{\infty} k a_k(x-c)^{k-1} \quad$ has radius of convergence $R$, and
(b) $f^{\prime}(x)=\sum_{k=1}^{\infty} k a_k(x-c)^{k-1}$, for all $x,|x-c|<R$.
Proof. For convenience we take $c=0$. Consider the differentiated series $\sum k a_k x^{k-1}$. By Theorem 3.2.6, $\lim {k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{k}=1$, and for $x \neq 0$, $$\lim {k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{|x|^{k-1}}=\lim _{k \rightarrow \infty} \frac{|x|}{\sqrt[k]{|x|}}=|x|$$

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Uniqueness Theorem for Power Series

The following uniqueness result for power series is another consequence of Corollary 8.7.8 .

COROLLARY 8.7.11 Suppose $\sum a_k(x-c)^k$ and $\sum b_k(x-c)^k$ are two power series which converge for all $x,|x-c|0$. Then
$$\sum_{k=0}^{\infty} a_k(x-c)^k=\sum_{k=0}^{\infty} b_k(x-c)^k, \quad|x-c|<R,$$
if and only if $a_k=b_k$ for all $k=0,1,2, \ldots$
Proof. Clearly, if $a_k=b_k$ for all $k$, then the two power series are equal and converge to the same function. Conversely, set
$$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k(x-c)^k \quad \text { and } \quad g(x)=\sum_{k=0}^{\infty} b_k(x-c)^k .$$
If $f(x)=g(x)$ for all $x,|x-c|<R$, then $f^{(n)}(x)=g^{(n)}(x)$ for all $n=0,1,2, \ldots$, and all $x,|x-c|<R$. In particular, $f^{(n)}(c)=g^{(n)}(c)$ for all $n=0,1,2, \ldots$ Thus by (17), $a_n=b_n$ for all $n$.

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Difffferentiation of Power Series

$$\sum_{k=1}^{\infty} k a_k(x-c)^{k-1}=\sum_{k=0}^{\infty}(k+1) a_{k+1}(x-c)^k .$$

$$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k(x-c)^k, \quad|x-c|<R$$

(一) $\sum_{k=1}^{\infty} k a_k(x-c)^{k-1}$ 有收玫半径 $R$, 和
(b) $f^{\prime}(x)=\sum_{k=1}^{\infty} k a_k(x-c)^{k-1}$ ，对所有人 $x,|x-c|<R$.

$$\lim k \rightarrow \infty \sqrt[k]{|x|^{k-1}}=\lim {k \rightarrow \infty} \frac{|x|}{\sqrt[k]{|x|}}=|x|$$

## 数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Uniqueness Theorem for Power Series

$$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k(x-c)^k \quad \text { and } \quad g(x)=\sum_{k=0}^{\infty} b_k(x-c)^k .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。