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# 数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|CS586/IE519 An implication of linear independence

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## 数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|An implication of linear independence

If $w$ is a linear combination of the linearly independent vectors $v^1, v^2, \ldots, v^k$ in the vector space $V$, that is, if
$$w=\alpha_1 v^1+\alpha_2 v^2+\cdots+\alpha_k v^k,$$
then the scalars $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_k$ used in the representation of $w$ are unique. To see this, suppose
$$w=\alpha_1 v^1+\alpha_2 v^2+\cdots+\alpha_k v^k=\beta_1 v^1+\beta_2 v^2+\cdots+\beta_k v^k .$$
Then we must have
$$\left(\alpha_1-\beta_1\right) v^1+\left(\alpha_2-\beta_2\right) v^2+\cdots+\left(\alpha_k-\beta_k\right) v^k=0 .$$
The linear independence of $v^1, v^2, \ldots, v^k$ implies that $\alpha_j-\beta_j=0, j=$ $1,2, \ldots, k$. This, in turn, is another way of saying that there is only one way to represent $w$ as a linear combination of $v^1, v^2, \ldots, v^k$.

## 数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|Matrices and systems of linear equations

When we have a system of $m$ equations in $n$ unknowns (or variables), say
$$\sum_{j=1}^n a_{i j} x_j=b_i, \quad i=1, \ldots, m$$
the associated matrix $A=\left[a_{i j}\right] \in R^{m \times n}$ and vector $b=\left(b_1, \ldots, b_m\right) \in R^m$ allow us to express the system as
$$A x=b .$$

The $m \times n$ matrix $A$ gives rise to two special sets of vectors, namely the rows $A_{1 \bullet}, \ldots, A_m$ and the columns $A_{\bullet 1}, \ldots, A_{\bullet}$.

In discussing (2.14), we are particularly interested in the columns of $A$ and their relationship to the column vector $b$. Note that (2.14) has a solution, $\bar{x}$, if and only if the $n+1$ vectors $A \bullet_1, \ldots, A_{\bullet n}, b$ are linearly dependent and, in the equation expressing linear dependence, there is a nonzero coefficient on $b$. Indeed, if $\bar{x}$ satisfies (2.14), we have
$$A \bullet \bar{x}1+\cdots+A \cdot n \bar{x}_n+b(-1)=0,$$ and since $\left(\bar{x}_1, \ldots, \bar{x}_n,-1\right)$ is nonzero, the vectors $A \cdot 1, \ldots, A \cdot n, b$ are linearly dependent. Conversely, if these vectors are linearly dependent, there exist scalars $\alpha_1, \ldots, \alpha_n, \alpha{n+1}$ not all zero such that
$$A \cdot 1 \alpha_1+\cdots+A \cdot n \alpha_n+b \alpha_{n+1}=0$$

## 数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|An implication of linear independence

$$w=\alpha_1 v^1+\alpha_2 v^2+\cdots+\alpha_k v^k,$$

$$w=\alpha_1 v^1+\alpha_2 v^2+\cdots+\alpha_k v^k=\beta_1 v^1+\beta_2 v^2+\cdots+\beta_k v^k .$$

$$\left(\alpha_1-\beta_1\right) v^1+\left(\alpha_2-\beta_2\right) v^2+\cdots+\left(\alpha_k-\beta_k\right) v^k=0 .$$

## 数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|Matrices and systems of linear equations

$$\sum_{j=1}^n a_{i j} x_j=b_i, \quad i=1, \ldots, m$$
$$A x=b .$$

$$A \bullet \bar{x} 1+\cdots+A \cdot n \bar{x}n+b(-1)=0,$$ 并且因为 $\left(\bar{x}_1, \ldots, \bar{x}_n,-1\right)$ 非零，向量 $A \cdot 1, \ldots, A \cdot n, b$ 是线性相关的。相反，如果这些向量是线性相关的，则存在标量 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n, \alpha n+1$ 并非全为零，这样 $$A \cdot 1 \alpha_1+\cdots+A \cdot n \alpha_n+b \alpha{n+1}=0$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。