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# 数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|MAST90020 The Hilbert Space Adjoint

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## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|The Hilbert Space Adjoint

Let $H$ and $K$ be Hilbert spaces. If $T \in \mathscr{L}(H, K)$ is a bounded operator, its adjoint $T^* \in$ $\mathscr{L}\left(K^, H^\right)$ is a bounded operator acting in the reverse direction between their duals. By the Riesz representation theorem, the duals $H^$ and $K^$ can be canonically identified with $H$ and $K$. Under these identifications, the adjoint of an operator $T \in \mathscr{L}(H, K)$ can be re-interpreted as an operator acting from $K$ to $H$. Although the identifications are conjugate-linear, as an operator from $K$ to $H$ the adjoint of $T$ is nevertheless linear. This is the content of the next proposition which, incidentally, admits a straightforward direct proof which does not call upon the Hahn-Banach theorem.

Proposition 4.28. For every bounded operator $T \in \mathscr{L}(H, K)$ there exists a unique bounded operator $T^{\star} \in \mathscr{L}(K, H)$ such that
$$(T x \mid y)=\left(x \mid T^{\star} y\right), \quad x \in H, y \in K .$$
Furthermore,
$$|T|=\left|T^{\star}\right|=\left|T^{\star} T\right|^{1 / 2} .$$
Proof Let $y \in K$ be fixed and define a mapping $\phi=\phi_{y, T}: H \rightarrow \mathbb{K}$ by
$$\phi(x):=(T x \mid y) .$$
From $|\phi(x)| \leqslant|T x||y| \leqslant|T||x||y|$ we see that $\phi$ is bounded with norm at most $|T||y|$. Hence by the Riesz representation theorem there is a unique element $T^{\star} y \in H$ with norm $\left|T^{\star} y\right|=|\phi|$ such that
$$\phi(x)=\left(x \mid T^{\star} y\right) .$$
Combining the two identities we obtain $(T x \mid y)=\left(x \mid T^{\star} y\right)$.

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|The Hahn–Banach Separation Theorem

In what follows, $X$ is a Banach space. Corollary $4.12$ can be interpreted as a separation theorem, in that it guarantees the existence of a functional separating a closed subspace from a given element not contained in it. The following result provides a far-reaching generalisation:

Theorem 4.32 (Hahn-Banach separation theorem). Let $C$ and $D$ be disjoint nonempty convex sets in $X$, with $C$ open. Then there exists an $x^* \in X^$ such that the sets $\left\langle C, x^\right\rangle$ and $\left\langle D, x^*\right\rangle$ are disjoint.

Proof We prove the theorem in three steps.
Step 1 – First we prove the theorem for the real scalar field and $D=\left{x_0\right}$. Replacing $C$ and $x_0$ by $C-y_0$ and $x_0-y_0$ for some fixed $y_0 \in C$, we may assume without loss of generality that $0 \in C$.
Define the Minkowski functional of $C$ as the mapping $\lambda_C: X \rightarrow[0, \infty)$ given by
$$\lambda_C(x):=\inf \left{t>0: t^{-1} x \in C\right} .$$
Since $C$ is convex, open, and contains 0 , we have $\lambda_C(x)<1$ if and only if $x \in C$. We claim that $\lambda_C$ enjoys the following two properties: (i) $\lambda_C(x+y) \leqslant \lambda_C(x)+\lambda_C(y)$ for all $x, y \in X$; (ii) $\lambda_C(t x)=t \lambda_C(x)$ for all $t \geqslant 0$. To prove (i), fix $\varepsilon>0$ and let $s, t>0$ be such that $s^{-1} x \in C$ and $t^{-1} y \in C$, with $s<$ $\lambda_C(x)+\varepsilon$ and $t<\lambda_C(x)+\varepsilon$. Then
$$(s+t)^{-1}(x+y)=\frac{s}{s+t} s^{-1} x+\frac{t}{s+t} t^{-1} y$$
is a convex combination of the elements $s^{-1} x, t^{-1} y \in C$ and therefore belongs to $C$. It follows that
$$\lambda_C(x+y) \leqslant s+t \leqslant \lambda_C(x)+\lambda_C(y)+2 \varepsilon .$$

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|The Hilbert Space Adjoint

$$(T x \mid y)=\left(x \mid T^{\star} y\right), \quad x \in H, y \in K .$$

$$|T|=\left|T^{\star}\right|=\left|T^{\star} T\right|^{1 / 2} .$$

$$\phi(x):=(T x \mid y) .$$

$$\phi(x)=\left(x \mid T^{\star} y\right) .$$

## 数学代写泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|The Hahn-Banach Separation Theorem

$x_0-y_0$ 对于一些固定的 $y_0 \in C$ ，我们可以不失一般性假设 $0 \in C$.

〈left 的分隔符缺失或无法识别

$$(s+t)^{-1}(x+y)=\frac{s}{s+t} s^{-1} x+\frac{t}{s+t} t^{-1} y$$

$$\lambda_C(x+y) \leqslant s+t \leqslant \lambda_C(x)+\lambda_C(y)+2 \varepsilon$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。