如果你也在 怎样代写曲线和曲面Curves And Surfaces MA3205这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。曲线和曲面Curves And Surfaces是指在一个平面上平滑地画出的线条，其中有一个弯曲或转弯。面是物体的一个平面或区域。曲线是一维的。一个表面是二维的。测量曲面上某一点的高斯曲率的一个方法是，在曲面上取一个半径为r的小圆，圆心在该点，计算圆的周长或面积。
曲线和曲面Curves And Surfaces在数学中，曲线（在较早的文本中也称为曲线）是一种类似于直线的物体，但它不一定是直线。直观地说，曲线可以被认为是一个移动的点所留下的痕迹。这是2000多年前出现在欧几里德《元素》中的定义。”[弯曲的]线[a]是[……]第一种量，它只有一个维度，即长度，没有任何宽度或深度，而且无非是点的流动或运行，[……]将从其假想的移动中留下一些长度上的痕迹，免除任何宽度。”
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数学代写|曲线和曲面代写Curves And Surfaces代考|GEOMETRIC CONTINUITY AT A COMMON BOUNDARY
Consider two patches represented by smooth regular parametrisations, $p(s, t)$ and $p^(u, v)$. We assume that the patches have a common boundary curve being a constant parameter curve of the first patch, and corresponding to $t=t_0$, and a constant parameter curve of the second patch, corresponding to $v=v_0$. Let $I$ denote the line segment $v=v_0$, bounding the domain of the parametrisation $p^$. We assume that the two parametrisations of the common curve, obtained by restricting the parametrisations $\boldsymbol{p}$ and $\boldsymbol{p}^$ and denoted by $\overline{\boldsymbol{p}}$ and $\underline{p}^$, are identical: $\overline{\boldsymbol{p}}(s)=$ $\underline{p}^(u)$ for $s=u$. This assumption guarantees the positional continuity of the junction of the two patches: $$ \bar{p}=\underline{p}^ .
$$
The derivation of equations of geometric continuity for a junction of two patches is similar to that of curve arcs. Using a function $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$, whose coordinates are described by scalar functions $s$ and $t$ (see Figure 3.1), we obtain a new parametrisaton of the patch $p$ :
$$
q(u, v)=p(s(u, v), t(u, v)) .
$$
We assume that the partial derivatives of $\boldsymbol{q}$ up to the order $n$ at each point of the line segment $I$ are equal to the corresponding derivatives of the parametrisation $p^*$.
We can obtain the derivatives of the parametrisation $\boldsymbol{q}$ using the generalised Fàa di Bruno’s formula (A.55) for functions of two variables. Then, we restrict them to the line segment $I$. We can notice that if the derivatives with respect to $v$ of $\boldsymbol{q}$ and $p^$ of any order $k$ are equal at each point of the line segment $I$, then also $$ \left.\frac{\partial^{m+k}}{\partial u^m \partial v^k} \boldsymbol{q}\right|{v=v_0}=\left.\frac{\partial^{m+k}}{\partial u^m \partial v^k} \boldsymbol{p}^\right|{v=v_0}
$$
for all $m$ such that these derivatives exist. Therefore, we can focus our attention on the partial derivatives with respect to $v$ – the parameter changing across the boundary-which is why they are called the cross-boundary derivatives of the patches.
The cross-boundary derivatives of the parametrisation $q$ are related to those of $p$ in the following way:
$$
\begin{aligned}
\overline{\boldsymbol{q}}v &=\bar{s}_v \overline{\boldsymbol{p}}_s+\bar{t}_v \overline{\boldsymbol{p}}_t, \ \overline{\boldsymbol{q}}{v v} &=\bar{s}{v v} \overline{\boldsymbol{p}}_s+\bar{t}{v v} \overline{\boldsymbol{p}}t+\bar{s}_v^2 \overline{\boldsymbol{p}}{s s}+2 \bar{s}v \bar{t}_v \overline{\boldsymbol{p}}{s t}+\bar{t}v^2 \overline{\boldsymbol{p}}{t t}
\end{aligned}
$$
etc. The general (and rather impractical) formula, which is a special case of (A.55), is
$\frac{\partial^j}{\partial v^j} \overline{\boldsymbol{q}}=\sum_{k=1}^j \sum_{h=0}^k a_{j k h} \frac{\partial^k}{\partial s^h \partial t^{k-h}} \overline{\boldsymbol{p}}$,
$a_{j k h}=\left(\begin{array}{l}k \ h\end{array}\right) \sum_{\substack{m_1+\cdots+m_k=j \ m_1, \ldots, m_k>0}} \frac{j !}{k ! m_{1} ! \ldots m_{k} !} \bar{s}{v^{m_1}} \ldots \bar{s}{v^{m_h}} \bar{t}{v^{m{h+1}} \ldots} \ldots \bar{t}_{v^{m_k}}$.
数学代写|曲线和曲面代写Curves And Surfaces代考|INTERPRETATION
We take a closer look at the junctions of patches of class $G^n$ for $n=1$ and $n=2$, bearing in mind that the patches have a common curve $\overline{\boldsymbol{p}}=\underline{p}^$. From the assumption that $\overline{\boldsymbol{p}}(s)=\underline{p}^(u)$ if $s=u$ it follows that all partial derivatives of the parametrisations $\boldsymbol{p}$ and $\boldsymbol{p}^*$ with respect to $s$ and $u$ at the junction points agree.
Case $n=1$. At any point of the common curve the cross-boundary derivative of $p^*$ is a linear combination of the first-order partial derivatives of $\boldsymbol{p}$. The partial derivatives of both patches at any point of their common curve determine the same plane (see Figure 3.2). Geometrically $G^1$ continuity is the continuity of tangent plane of the surface made of the two patches. One can also talk about the continuity of the normal vector, which is equivalent.
The same geometric interpretation applies to the equations for the homogeneous representations of the patches. The homogeneous patches reside in the four-dimensional space. At any junction point the triples of vectors, $\overline{\boldsymbol{P}}(s), \overline{\boldsymbol{P}}_s(s), \overline{\boldsymbol{P}}_t(s)$ and $\underline{\boldsymbol{P}}^(u), \underline{\boldsymbol{P}}_u^(u), \underline{\boldsymbol{P}}_v^*(u)$ span the same three-dimensional linear subspace (i.e., hyperplane) $\Pi(u)$ of $\mathbb{R}^4$. The common tangent plane $\pi(u)$ of the rational patches is represented by this hyperplane. ${ }^1$
Case $n=2$. The first and second fundamental forms (see Section A.10.2) are expressed by the derivatives of the first and second order of the surface’s parametrisation. The forms may be used to find the curvature of curves obtained by intersecting the surface with planes. If there exists a regular parametrisation of class $C^2$ of the surface, e.g. described piecewise by $q$ and $p^*$, then the curvature of the intersection of the surface with any plane not tangent to the surface is continuous.
On the other hand, having a surface whose all planar sections (with non-tangent planes) are curves with the curvature continuous, it is possible to find local regular parametrisations of class $C^2$ of this surface. ${ }^2$ Thus geometric continuity of the second order is equivalent to the curvature continuity of the surface.
曲线和曲面代写
数学代写|曲线和曲面代写Curves And Surfaces代考|GEOMETRIC CONTINUITY AT A COMMON BOUNDARY
考虑由平滑规则参数表示的两个补丁， $p(s, t)$ 和 $p(u, v)$. 我们假设补丁有一个共同的边界曲线是第一个补丁的常数参数曲线，并 且对应于 $t=t_0$ ，以及第二个补丁的常数参数曲线，对应于 $v=v_0$. 让 $I$ 表示线段 $v=v_0$ ，限定参数化的域 $\underline{p}(u)$ 为了 $s=u$. 这个假设保证了两个补丁连接的位置连续性:
$$
\bar{p}=\underline{p}
$$
两个面片连接处的几何连绞性方程的推导类似于曲线弧的推导。使用函数 $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ ，其坐标由标量函数描述 $s$ 和 $t$ (见图 3.1），我们获得了一个新的补丁参数 $p$ :
$$
q(u, v)=p(s(u, v), t(u, v)) .
$$
我们假设偏导数 $\boldsymbol{q}$ 按订单 $n$ 在线段的每个点 $I$ 等于参数化的相应导数 $p^$. 我们可以得到参数化的导数 $\boldsymbol{q}$ 对两个变量的函数使用广义 Fàa di Bruno 公式 (A.55)。然后，我们将它们限制为线段 $I$. 我们可以 注意到，如果关于 $v$ 的 $\boldsymbol{q}$ 和缶少上标或下标参数 缺少〈left 或额外的 〈right 对所有人 $m$ 使得这些衍生物存在。因此，我们可以将注意力集中在偏导数上 $v-$ 参数洿边界变化- -这就是为什么它们被称为补丁 的跨边界吕数。 参数化的跨界昌数 $q$ 与那些有关 $p$ 通过以下方式: $$ \overline{\boldsymbol{q}} v=\bar{s}v \overline{\boldsymbol{p}}_s+\bar{t}_v \overline{\boldsymbol{p}}_t, \overline{\boldsymbol{q}} v v \quad=\bar{s} v v \overline{\boldsymbol{p}}_s+\bar{t} v v \overline{\boldsymbol{p}} t+\bar{s}_v^2 \overline{\boldsymbol{p}} s s+2 \bar{s} v \bar{t}_v \overline{\boldsymbol{p}} s t+\bar{t} v^2 \overline{\boldsymbol{p}} t t $$ 等。作为 (A.55) 的一个特例的一般 (而且相当不切实际的) 公式是 $\frac{\partial^j}{\partial v^j} \overline{\boldsymbol{q}}=\sum{k=1}^j \sum_{h=0}^k a_{j k h} \frac{\partial^k}{\partial s^h \partial t^{k-h}} \overline{\boldsymbol{p}}$,
$a_{j k h}=(k h) \sum_{m_1+\cdots+m_k=j m_1, \ldots, m_k>0} \frac{j !}{k ! m_{1} ! \ldots m_k} \bar{s} v^{m_1} \ldots \bar{s} v^{m_h} \bar{t} v^{m h+1} \ldots \ldots \bar{t}_{v^m k}$.
数学代写曲线和曲面代写Curves And Surfaces代考|INTERPRETATION
我们仔细看看类补丁的交界处 $G^n$ 为了 $n=1$ 和 $n=2$, 请记住补丁具有共同的曲线
缺少上标或下标参数 葭设 $\overline{\boldsymbol{p}}(s)=\underline{p}(u)$ 如果 $s=u$ 因此，参数化的所有偏导数 $\boldsymbol{p}$ 和 $\boldsymbol{p}^$ 关于 $s$ 和 $u$ 在
交界处同意。
宴子 $n=1$. 在公共曲线的任意一点，跨界导数 $p^$ 是一阶偏导数的线性组合 $\boldsymbol{p}$. 两个面片在其公共曲线上任意点的偏导数确定了同一 平面 (见图 3.2) 。几何上 $G^1$ 连续性是由两个面片组成的曲面的切面的连绞性。也可以讲法向量的连绞性，是等价的。 相同的几何解释适用于斑块的均匀表示的方程。同质补丁位于四维空间中。在任何连接点，向量的三元组， $\overline{\boldsymbol{P}}(s), \overline{\boldsymbol{P}}_s(s), \overline{\boldsymbol{P}}_t(s)$ 和 $\left.\left.\boldsymbol{P}^{(} u\right), \underline{\boldsymbol{P}}_u^{(} u\right), \underline{P}_v^(u)$ 跨越相同的三维线性子空间 (即超平面) $\Pi(u)$ 的 $\mathbb{R}^4$. 公切平面 $\pi(u)$ 这个超平面表示有理补丁。1
宨子 $n=2$. 第一和第二基本形式 (见第 A.10.2 节) 由表面参数化的一阶和二阶导数表示。这些形式可用于亘找通过将曲面与平面 相交而获得的曲线的曲率。如果存在尖的常规参数化 $C^2$ 表面的，例如分段描述的 $q$ 和 $p^*$ ，则曲面与任何不与曲面相切的平面的交 点的曲率是连续的。
另一方面，如果曲面的所有平面截面（具有非相切平面）都是曲率连续的曲线，则可以戈到类的局部规则参数化 $C^2$ 这个表面的。
${ }^2$ 因此二阶几何连续性等价于曲面的曲率连续性。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。