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# 数学代写|数学分析作业代写Mathematical Analysis代考|MATH7400 Outer Measures

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## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Outer Measures

We now discuss an important general construction which we need in section $8.4$ for the construction of the Lebesgue measure on $\mathbb{R}^n$.

Definition. Let $X$ be a nonempty set. A set function $m^: \mathcal{P}(X) \rightarrow[0, \infty]$ is called an outer measure on $X$ if the following conditions are satisfied: (a) if $E \subseteq F \subseteq X$, then $m^(E) \leq m^*(F)$; and (b) for a countable sequence $\left(E_n\right)$ of subsets of $X$,
$$m^\left(\cup_{n=1}^{\infty} E_n\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} m^\left(E_n\right) .$$
Thus an outer measure is a nonnegative set function on $\mathcal{P}(X)$ that is monotone and countably subadditive. Outer measures have little intrinsic importance. However, an outer measure can be restricted to a positive measure on a certain $\sigma$-algebra of sets in $X$, as we detail below.

Definition. Let $m^$ be an outer measure on $X$. A subset $E$ of $X$ is said to be $m^-$ measurable (or simply measurable, in this discussion) if
$$m^(A)=m^(A \cap E)+m^\left(A \cap E^{\prime}\right)$$ for all subsets $A$ of $X$. The above condition is known as the Carathéodory condition. Let $\mathfrak{M}$ denote the set of all $m^$-measurable subsets of $X$.

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Measurable Functions

For the remainder of this section, $(X, \mathfrak{M})$ is a measurable space. We allow realvalued functions on $X$ to take infinite values. This is essential because, for example, the limit of a sequence of functions $f_n(x)$ may well diverge to $\pm \infty$, or it may not even exist for some $x \in X$. It will turn out that this is largely a technicality because, in practice, the exceptional set of points where a reasonable measurable function $f$ takes infinite values has measure 0 (see, e.g., example 1 in section 8.3). In this section, we have to contend with the nuisance that functions can assume infinite values.

Definition. An extended real-valued function $f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ is said to be measurable if $f^{-1}((a, \infty])$ is measurable for every $a \in \mathbb{R}$.

Proposition 8.2.8. For a function $f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$, and $a \in \mathbb{R}$, the following are equivalent:
(a) fis measurable.
(b) $f^{-1}([a, \infty]) \in \mathfrak{M}$.
(c) $f^{-1}([-\infty, a)) \in \mathfrak{M}$.
(d) $f^{-1}([-\infty, a]) \in \mathfrak{M}$.
Proof. (a) implies (b): $f^{-1}([a, \infty])=\cap_{n=1}^{\infty} f^{-1}((a-1 / n, \infty])$.
(b) implies $(c): f^{-1}([-\infty, a))=X-f^{-1}([a, \infty])$.
(c) implies $(d): f^{-1}([-\infty, a])=\cap_{n=1}^{\infty} f^{-1}([-\infty, a+1 / n))$.
(d) implies $(a): f^{-1}((a, \infty])=X-f^{-1}([-\infty, a])$.
Theorem 8.2.9. (a) A constant function is measurable.
(b) If $A \subseteq X$, then $\chi_A$ is measurable if and only if $A$ is measurable.
(c) Iff : $X \rightarrow \mathbb{R}$ is measurable and $c \in \mathbb{R}$, then $f+c$ and cf are measurable.
The proof is left as an exercise.

## 数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Outer Measures

$$m\left(\cup_{n=1}^{\infty} E_n\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} m^{\left(E_n\right)} .$$

$$\left.\left.m^{(} A\right)=m^{(} A \cap E\right)+m^{\left(A \cap E^{\prime}\right)}$$

## 数学代写数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Measurable Functions

(a) 可测量的。
(二) $f^{-1}([a, \infty]) \in \mathfrak{M}$.
(c) $f^{-1}([-\infty, a)) \in \mathfrak{M}$.
(d) $f^{-1}([-\infty, a]) \in \mathfrak{M}$.

(b) 暗示 $(c): f^{-1}([-\infty, a))=X-f^{-1}([a, \infty])$.
(c) 暗示 $(d): f^{-1}([-\infty, a])=\cap_{n=1}^{\infty} f^{-1}([-\infty, a+1 / n))$.
(d) 暗示 $(a): f^{-1}((a, \infty])=X-f^{-1}([-\infty, a])$.

(b) 如果 $A \subseteq X ＼mathrm{~ ， 然 后 ~} \chi A$ 是可测量的当且仅当 $A$ 是可测量的。
(c) 如果: $X \rightarrow \mathbb{R}$ 是可测量的并且 $c \in \mathbb{R}$ ，然后 $f+c$ 和 $c f$ 是可测量的。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。