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数学分析Mathematical Analysis MAJ01156这些理论通常是在实数和复数及函数的背景下研究的。分析学是从微积分演变而来的，它涉及到分析学的基本概念和技术。分析可以区别于几何学；然而，它可以应用于任何有近似性定义的数学对象空间（拓扑空间）或对象之间的特定距离（公制空间）。
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数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Outer Measures
We now discuss an important general construction which we need in section $8.4$ for the construction of the Lebesgue measure on $\mathbb{R}^n$.
Definition. Let $X$ be a nonempty set. A set function $m^: \mathcal{P}(X) \rightarrow[0, \infty]$ is called an outer measure on $X$ if the following conditions are satisfied: (a) if $E \subseteq F \subseteq X$, then $m^(E) \leq m^*(F)$; and (b) for a countable sequence $\left(E_n\right)$ of subsets of $X$,
$$
m^\left(\cup_{n=1}^{\infty} E_n\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} m^\left(E_n\right) .
$$
Thus an outer measure is a nonnegative set function on $\mathcal{P}(X)$ that is monotone and countably subadditive. Outer measures have little intrinsic importance. However, an outer measure can be restricted to a positive measure on a certain $\sigma$-algebra of sets in $X$, as we detail below.
Definition. Let $m^$ be an outer measure on $X$. A subset $E$ of $X$ is said to be $m^-$ measurable (or simply measurable, in this discussion) if
$$
m^(A)=m^(A \cap E)+m^\left(A \cap E^{\prime}\right) $$ for all subsets $A$ of $X$. The above condition is known as the Carathéodory condition. Let $\mathfrak{M}$ denote the set of all $m^$-measurable subsets of $X$.
数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Measurable Functions
For the remainder of this section, $(X, \mathfrak{M})$ is a measurable space. We allow realvalued functions on $X$ to take infinite values. This is essential because, for example, the limit of a sequence of functions $f_n(x)$ may well diverge to $\pm \infty$, or it may not even exist for some $x \in X$. It will turn out that this is largely a technicality because, in practice, the exceptional set of points where a reasonable measurable function $f$ takes infinite values has measure 0 (see, e.g., example 1 in section 8.3). In this section, we have to contend with the nuisance that functions can assume infinite values.
Definition. An extended real-valued function $f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ is said to be measurable if $f^{-1}((a, \infty])$ is measurable for every $a \in \mathbb{R}$.
Proposition 8.2.8. For a function $f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$, and $a \in \mathbb{R}$, the following are equivalent:
(a) fis measurable.
(b) $f^{-1}([a, \infty]) \in \mathfrak{M}$.
(c) $f^{-1}([-\infty, a)) \in \mathfrak{M}$.
(d) $f^{-1}([-\infty, a]) \in \mathfrak{M}$.
Proof. (a) implies (b): $f^{-1}([a, \infty])=\cap_{n=1}^{\infty} f^{-1}((a-1 / n, \infty])$.
(b) implies $(c): f^{-1}([-\infty, a))=X-f^{-1}([a, \infty])$.
(c) implies $(d): f^{-1}([-\infty, a])=\cap_{n=1}^{\infty} f^{-1}([-\infty, a+1 / n))$.
(d) implies $(a): f^{-1}((a, \infty])=X-f^{-1}([-\infty, a])$.
Theorem 8.2.9. (a) A constant function is measurable.
(b) If $A \subseteq X$, then $\chi_A$ is measurable if and only if $A$ is measurable.
(c) Iff : $X \rightarrow \mathbb{R}$ is measurable and $c \in \mathbb{R}$, then $f+c$ and cf are measurable.
The proof is left as an exercise.
数学分析代写
数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Outer Measures
我们现在讨论一个重要的一般结构，我们需要在部分 $8.4$ 用于构建 Lebesgue 措施 $\mathbb{R}^n$.
定义。让 $X$ 是一个非空集。一组函数 $m: \mathcal{P}(X) \rightarrow[0, \infty]$ 被称为外部度量 $X$ 如果满足以下条件: (a) 如果 $E \subseteq F \subseteq X$ ，然后 $m(E) \leq m^*(F)$; (b) 对于可数序列 $\left(E_n\right)$ 的子集 $X$ ，
$$
m\left(\cup_{n=1}^{\infty} E_n\right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} m^{\left(E_n\right)} .
$$
因此，外部测度是一个非负集函数 $\mathcal{P}(X)$ 这是单调和可数次加法。外部㛭施几乎没有内在重要性。但是，外部措施可以限制为对某 个特定的积极措施 $\sigma-$ 焦合的代数 $X$ ，正如我们在下面详述的那样。
定义。让失少上标或下标参数
$$
\left.\left.m^{(} A\right)=m^{(} A \cap E\right)+m^{\left(A \cap E^{\prime}\right)}
$$
对于所有子集 $A$ 的 $X$. 上述条件称为 Carathéodory 条件。让貝表示所有的集合缺少上标或下标参数
可测量的子集 $X$.
数学代写数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Measurable Functions
对于本节的其余部分， $(X, \mathfrak{M})$ 是 个可测量的空间。我们允许实值函数 $X$ 取无限值。这是必不可少的，因为例如，函数序列的限 制 $f_n(x)$ 很可能会偏离 $\pm \infty$ ，或者对于某些人来说甚至可能不存在 $x \in X$. 事实证明，这在很大程度上是一个技术问题，因为在实 践中，一个合理的可测量函数的特殊点集 $f$ 取无穷大值的度量为 0 (例如，参见第 $8.3$ 节中的示例 1) 。在本节中，我们必须解㚘 函数可以假定无限值的问题。
定义。扩展的实值函数 $f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ 据说是可测量的，如果 $f^{-1}((a, \infty])$ 是可测量的 $a \in \mathbb{R}$.
提案 8.2.8。对于一个函数 $f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ ，和 $a \in \mathbb{R}$ ，以下是等价的:
(a) 可测量的。
(二) $f^{-1}([a, \infty]) \in \mathfrak{M}$.
(c) $f^{-1}([-\infty, a)) \in \mathfrak{M}$.
(d) $f^{-1}([-\infty, a]) \in \mathfrak{M}$.
证明。(a) 意味着 $(b): f^{-1}([a, \infty])=\cap_{n=1}^{\infty} f^{-1}((a-1 / n, \infty])$.
(b) 暗示 $(c): f^{-1}([-\infty, a))=X-f^{-1}([a, \infty])$.
(c) 暗示 $(d): f^{-1}([-\infty, a])=\cap_{n=1}^{\infty} f^{-1}([-\infty, a+1 / n))$.
(d) 暗示 $(a): f^{-1}((a, \infty])=X-f^{-1}([-\infty, a])$.
定理 8.2.9。(a) 一个常数函数是可测量的。
(b) 如果 $A \subseteq X ＼mathrm{~ ， 然 后 ~} \chi A$ 是可测量的当且仅当 $A$ 是可测量的。
(c) 如果: $X \rightarrow \mathbb{R}$ 是可测量的并且 $c \in \mathbb{R}$ ，然后 $f+c$ 和 $c f$ 是可测量的。
证明留作练习。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。