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# 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|MAST90097 Secant varieties, joins, and scrolls

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## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Secant varieties, joins, and scrolls

In this section we describe some classical geometric constructions and how elimination techniques can be applied to write down their equations.
Consider the variety
$$\Delta_N=\left{\left(t_1, \ldots, t_N\right): t_1+t_2+\cdots+t_N=1\right} \subset \mathbb{A}^N(k) .$$
For each finite set of points $S=\left{p_1, \ldots, p_N\right} \subset \mathbb{A}^n(k)$, we have a morphism
\begin{aligned} \sigma_S: \Delta_N & \rightarrow \mathbb{A}^n \ \left(t_1, \ldots, t_N\right) & \mapsto t_1 p_1+\cdots+t_N p_N, \end{aligned}
where we add the $p_j$ as vectors in $k^n$. The image is called the affine span of $S$ in $\mathbb{A}^n(k)$ and denoted affspan $(S)$. We leave it to the reader to verify this is closed (cf. Exercise 4.9.)

Example 4.17 Given distinct points $p_1, p_2 \in \mathbb{A}^2(\mathbb{R})$, affspan $\left(p_1, p_2\right)$ is the unique line joining them. Given distinct noncollinear points $p_1, p_2, p_3 \in \mathbb{A}^3(\mathbb{R})$, $\operatorname{affspan}\left(p_1, p_2, p_3\right)$ is the unique plane containing them.

Proposition 4.18 The set $S=\left{p_1, \ldots, p_N\right}$ imposes independent conditions on polynomials of degree $\leq 1$ if and only if $\sigma_S$ is injective. We say that $S$ is in linear general position.

Proof $\quad \sigma_S$ is not injective if there are distinct $\left(t_1, \ldots, t_N\right),\left(t_1^{\prime}, \ldots, t_N^{\prime}\right) \in \Delta_N$ with
$$t_1 p_1+\cdots+t_N p_N=t_1^{\prime} p_1+\cdots+t_N^{\prime} p_N .$$

Reordering indices, if necessary, we can assume $t_1 \neq t_1^{\prime}$; we can write
$$p_1=\frac{t_2^{\prime}-t_2}{t_1-t_1^{\prime}} p_2+\cdots+\frac{t_N^{\prime}-t_N}{t_1-t_1^{\prime}} p_N,$$
i.e., $p_1 \in \operatorname{affspan}\left(\left{p_2, \ldots, p_N\right}\right)$. It follows that every linear polynomial vanishing at $p_2, \ldots, p_N$ also vanishes at $p_1$ (see Exercise 4.9) so $S$ fails to impose independent conditions on polynomials of degree $\leq 1$.

Conversely, suppose $S$ fails to impose independent conditions on polynomials of degree $\leq 1$. After reordering, we find
$$I_1\left(p_2, \ldots, p_N\right)=I_1\left(p_1, p_2, \ldots, p_N\right),$$
which implies (see Exercise 4.9)
$$p_1 \in \operatorname{affspan}\left(p_2, \ldots, p_N\right)$$

## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Common roots of univariate polynomials

We translate the search for common solutions to a problem in linear algebra, albeit over an infinite-dimensional space:
Proposition 5.1 Consider polynomials
$$f=a_m x^m+a_{m-1} x^{m-1}+\cdots+a_0, g=b_n x^n+b_{n-1} x^{n-1}+\cdots+b_0 \in k[x]$$
of degrees $m$ and $n$, i.e., with $a_m, b_n \neq 0$. The following conditions are equivalent:

• $f$ and $g$ have a common solution over some extension of $k$;
• $f$ and $g$ share a common nonconstant factor $h \in k[x]$;
• there are no polynomials $A, B \in k[x]$ with $A f+B g=1$;
• $\langle f, g\rangle \subsetneq k[x]$
Proof We prove the first two are equivalent. Suppose $f$ and $g$ have a common solution $\alpha \in L$, where $L / k$ is a field extension. Let $k[\alpha] \subset L$ denote the $k$-algebra generated by $\alpha$. It is a quotient
• • \begin{aligned} • q: k[x] & \mapsto k[\alpha] \ • x & \mapsto \alpha • \end{aligned} •
• with kernel generated by a polynomial $h$ (see Theorem A.9). Since $f(\alpha)=g(\alpha)=0$, $f, g \in\langle h(x)\rangle$ and $h$ is nonzero and divides $f$ and $g$. But if $h$ were constant then $q$ would be zero, which is impossible.

Conversely, suppose that $f$ and $g$ share a common factor $h \in k[x]$. We may assume $h$ is irreducible, so that $k[x] /\langle h\rangle$ is a field. Since $f$ and $g$ are in the kernel of the quotient homomorphism
$$k[x] \rightarrow k[x] /\langle h\rangle,$$
$f$ and $g$ both have roots over that field.

## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Secant varieties, joins, and scrolls

\eft 的分隔符缺失或无法识别

，我们有一个态射
$$\sigma_S: \Delta_N \rightarrow \mathbb{A}^n\left(t_1, \ldots, t_N\right) \quad \mapsto t_1 p_1+\cdots+t_N p_N,$$

(参见练习4.9。)

$$t_1 p_1+\cdots+t_N p_N=t_1^{\prime} p_1+\cdots+t_N^{\prime} p_N .$$

$$p_1=\frac{t_2^{\prime}-t_2}{t_1-t_1^{\prime}} p_2+\cdots+\frac{t_N^{\prime}-t_N}{t_1-t_1^{\prime}} p_N,$$
IE。 \left 的分隔符缺失或无法识别 . 因此，每个线性须项式在 $p_2, \ldots, p_N$ 也消失在 $p_1$ (见刃题 4.9) 所以 $S$ 末 能对度数多项式施加独立条件 $\leq 1$.

$$I_1\left(p_2, \ldots, p_N\right)=I_1\left(p_1, p_2, \ldots, p_N\right),$$

$$p_1 \in \operatorname{affspan}\left(p_2, \ldots, p_N\right)$$

## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Common roots of univariate polynomials

$$f=a_m x^m+a_{m-1} x^{m-1}+\cdots+a_0, g=b_n x^n+b_{n-1} x^{n-1}+\cdots+b_0 \in k[x]$$

• $f$ 和 $g$ 对某些扩展有一个共同的解决方安 $k$;
• $f$ 和 $g$ 共享一个共同的非常数因子 $h \in k[x] ;$
• 没有多项式 $A, B \in k[x]$ 和 $A f+B g=1$;
• $\langle f, g\rangle \subsetneq k[x]$
证明我们证明前两个是等价的。认为 $f$ 和 $g$ 有一个共同的解快方安 $\alpha \in L$ ，在哪里 $L / k$ 是一个字段扩展。让 $k[\alpha] \subset L$ 表示 $k-$ 代数由 $\alpha$. 这是一个商
• \$\$
• $\backslash$ 开始 ${$ 对齐 $}$
• $x \&$ Imapsto \alpha
• \end } { \text { 对㐎 } }
• \$\$
• 由多项式生成的内核 $h$ (见定理 A.9) 。自从 $f(\alpha)=g(\alpha)=0, f, g \in\langle h(x)\rangle$ 和 $h$ 非零且除 $f$ 和 $g$. 但如果 $h$ 那时是恒定的 $q$ 将为䨐.，这是不可能的。
相反，假迣 $f$ 和 $g$ 共字一个共同因焘 $h \in k[x]$. 我们可以假设 $h$ 是不可约的，所以 $k[x] /\langle h\rangle$ 是一个字段。自从 $f$ 和 $g$ 在商同态的核中
$$k[x] \rightarrow k[x] /\langle h\rangle,$$
$f$ 和 $g$ 两者都植根于该领域。

## MATLAB代写

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