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# 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|MATH816 Closed sets and the Zariski topology

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## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Closed sets and the Zariski topology

Definition 3.18 The algebro-geometric closure of a subset $S \subset \mathbb{A}^n(k)$ is defined
$$\bar{S}=\left{a \in \mathbb{A}^n(k): f(a)=0 \quad \text { for each } f \in I(S)\right}=V(I(S)) .$$
A subset $S \subset \mathbb{A}^n(k)$ is closed if $S=\bar{S} ; U \subset \mathbb{A}^n(k)$ is open if its complement $\mathbb{A}^n(k) \backslash U$ is closed in $\mathbb{A}^n(k)$.
Example 3.19

1. The closure of $\mathbb{N} \subset \mathbb{A}^1(\mathbb{C})$ is the complex line $\mathbb{A}^1(\mathbb{C})$.
2. The closure of $\left{(x, y): x^2+y^2=1, x \neq 0\right} \subset \mathbb{A}^2(\mathbb{R})$ is the circle $\left{(x, y): x^2+\right.$ $\left.y^2=1\right}$.
3. The open subsets of $\mathbb{A}^1(\mathbb{C})$ are the empty set and $U \subset \mathbb{C}$ with finite complement, e.g., $U=\mathbb{C} \backslash\left{a_1, \ldots, a_d\right}$.

You may remember open and closed sets from calculus, e.g., $U \subset \mathbb{R}^n$ is open if, for each $x \in U$, a sufficiently small ball centered at $x$ is contained in $U$. There is a very general definition underlying both usages:

Definition 3.20 A topological space consists of a set $X$ and a collection of subsets $\mathcal{Z}={Z \subset X}$ called the closed subsets of $X$, satisfying the following:

• $\emptyset, X \in \mathcal{Z}$;
• if $Z_1, Z_2 \in \mathcal{Z}$ then $Z_1 \cup Z_2 \in \mathcal{Z}$;
• if $\left{Z_j\right}_{j \in J} \subset \mathcal{Z}$ then $\cap_{j \in J} Z_j \in \mathcal{Z}$.
A subset $U \subset X$ is open if its complement $X \backslash U$ is closed.

## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Coordinate rings and morphisms

We elaborate on algebraic aspects of morphisms of affine space.
Definition 3.23 Choose coordinates $x_1, \ldots, x_n$ and $y_1, \ldots, y_m$ on $\mathbb{A}^n(k)$ and $\mathbb{A}^m(k)$. Let $\phi: \mathbb{A}^n(k) \rightarrow \mathbb{A}^m(k)$ be a morphism given by the rule
$$\phi\left(x_1, \ldots, x_n\right)=\left(\phi_1\left(x_1, \ldots, x_n\right), \ldots, \phi_m\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right), \quad \phi_j \in k\left[x_1, \ldots, x_n\right] .$$

For each $f \in k\left[y_1, \ldots, y_m\right]$, the pull-back by $\phi$ is defined
$$\phi^* f=f \circ \phi=f\left(\phi_1\left(x_1, \ldots, x_n\right), \ldots, \phi_m\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right) .$$
We obtain a ring homomorphism
\begin{aligned} \phi^: k\left[y_1, \ldots, y_m\right] & \rightarrow k\left[x_1, \ldots, x_n\right] \ y_j & \mapsto \phi_j\left(x_1, \ldots, x_n\right), \end{aligned} with the property that $\phi^(c)=c$ for each constant $c \in k$, i.e., pull-back is a $k$-algebra homomorphism.
Conversely, any $k$-algebra homomorphism
$$\psi: k\left[y_1, \ldots, y_m\right] \rightarrow k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$$
is determined by its values on the generators. Writing $\psi_j\left(x_1, \ldots, x_n\right)=\psi\left(y_j\right)$, we obtain a morphism
\begin{aligned} \mathbb{A}^n(k) & \rightarrow \mathbb{A}^m(k) \ \left(x_1, \ldots, x_n\right) & \mapsto\left(\psi_1\left(x_1, \ldots, x_n\right), \ldots, \psi_m\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right) \end{aligned}

## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Closed sets and the Zariski topology

〈left 的分隔符缺失或无法识别

1. 的关闭 $\mathbb{N} \subset \mathbb{A}^1(\mathbb{C})$ 是复线 $\mathbb{A}^1(\mathbb{C})$.
2. 的关闭〈left 的分隔符玦失或无法识别 是圆〈left 的分隔符缺失或无法识别
3. 的开放子集 $\mathbb{A}^1(\mathbb{C})$ 是空集和 $U \subset \mathbb{C}$ 用有限补码，例如，〈left 的分隔符缺失或无法识别
您可能还记得溦积分中的开集和闭集，例如， $U \subset \mathbb{R}^n$ 是开放的，如果，对于每个 $x \in U$ ，一个足够小的球，以 $x$ 包含在 $U$. 两种 用法都有一个非常䇥䡌的定义:
定义 $3.20$ 一个拓扑空间由一个集合组成 $X$ 和子焦的焦合 $\mathcal{Z}=Z \subset X$ 称为闭子集 $X$ ，满足以下条件:

$\emptyset, X \in \mathcal{Z}$;

$一$ 个子集 $U \subset X$ 如果它的补码是开放的 $X \backslash U$ 已经关了。

## 数学代写|代数几何代写Algebraic Geometry代考|Coordinate rings and morphisms

$$\phi\left(x_1, \ldots, x_n\right)=\left(\phi_1\left(x_1, \ldots, x_n\right), \ldots, \phi_m\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right), \quad \phi_j \in k\left[x_1, \ldots, x_n\right] .$$

$$\phi^* f=f \circ \phi=f\left(\phi_1\left(x_1, \ldots, x_n\right), \ldots, \phi_m\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right) .$$

$$\phi: k\left[y_1, \ldots, y_m\right] \rightarrow k\left[x_1, \ldots, x_n\right] y_j \quad \mapsto \phi_j\left(x_1, \ldots, x_n\right),$$

$$\psi: k\left[y_1, \ldots, y_m\right] \rightarrow k\left[x_1, \ldots, x_n\right]$$

$$\mathbb{A}^n(k) \rightarrow \mathbb{A}^m(k)\left(x_1, \ldots, x_n\right) \quad \mapsto\left(\psi_1\left(x_1, \ldots, x_n\right), \ldots, \psi_m\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right)$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。