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数学代写|复几何代写Complex Geometry代考|MATH3033 Manifolds and Varieties via Sheaves

如果你也在 怎样代写复几何Complex Geometry MATH3033这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。复几何Complex Geometry在数学中,复数几何是研究由复数产生或描述的几何结构和构造的。特别是,复数几何涉及到空间的研究,如复数流形和复数代数品种,几个复数变量的函数,以及全形结构,如全形矢量束和相干舍。超验方法在代数几何中的应用,以及复数分析的更多几何方面,都属于这一类。

复几何Complex Geometry学位于代数几何学、微分几何学和复杂分析的交叉点,并使用所有三个领域的工具。由于融合了各个领域的技术和思想,复杂几何学的问题往往比一般的问题更容易解决或更具体。例如,通过最小模型程序和构建模空间对复流形和复代数品种进行分类,使该领域有别于微分几何,在微分几何中,对可能的光滑流形进行分类是一个明显困难的问题。此外,复杂几何学的额外结构允许,特别是在紧凑环境下,全局分析结果被成功证明,包括丘成桐对卡拉比猜想的证明、希钦-小林对应关系、非标量霍奇对应关系,以及凯勒-爱因斯坦度量和恒标量曲率凯勒度量的存在结果。这些结果经常反馈到复杂代数几何学中,例如最近利用K-稳定性对法诺流形进行的分类就从分析和纯二元几何学的技术中获得了巨大的好处。

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数学代写|复几何代写Complex Geometry代考|MATH3033 Manifolds and Varieties via Sheaves

数学代写|复几何代写Complex Geometry代考|Sheaves of Functions

As we said above, we need to define sheaves in order eventually to define manifolds and varieties. We start with a more primitive notion. In many parts of mathematics, we encounter topological spaces with distinguished classes of functions on them: continuous functions on topological spaces, $C^{\infty}$-functions on $\mathbb{R}^n$, holomorphic functions on $\mathbb{C}^n$, and so on. These functions may have singularities, so they may be defined only over subsets of the space; we will be interested primarily in the case that these subsets are open. We say that such a collection of functions is a presheaf if it is closed under restriction. Given sets $X$ and $T$, let $\operatorname{Map}_T(X)$ denote the set of maps from $X$ to $T$. Here is the precise definition of a presheaf, or rather of the kind of presheaf we need at the moment.

Definition 2.1.1. Suppose that $X$ is a topological space and $T$ a nonempty set. A presheaf of $T$-valued functions on $X$ is a collection of subsets $\mathscr{P}(U) \subseteq \operatorname{Map}_T(U)$, for each open $U \subseteq X$, such that the restriction $\left.f\right|_V$ belongs to $\mathscr{P}(V)$ whenever $f \in \mathscr{P}(U)$ and $V \subset U$

The collection of all functions $\operatorname{Map}T(U)$ is of course a presheaf. Less trivially: Example 2.1.2. Let $T$ be a topological space. Then the set of continuous functions Cont ${X, T}(U)$ from $U \subseteq X$ to $T$ is a presheaf.

Example 2.1.3. Let $X$ be a topological space and let $T$ be a set. The set $T^P(U)$ of constant functions from $U$ to $T$ is a presheaf called the constant presheaf.

Example 2.1.4. Let $X=\mathbb{R}^n$. The sets $C^{\infty}(U)$ of $C^{\infty}$ real-valued functions form a presheaf.

Example 2.1.5. Let $X=\mathbb{C}^n$. The sets $\mathscr{O}(U)$ of holomorphic functions on $U$ form a presheaf. (A function of several variables is holomorphic if it is $C^{\infty}$ and holomorphic in each variable.)

Example 2.1.6. Let $L$ be a linear differential operator on $\mathbb{R}^n$ with $C^{\infty}$ coefficients (e.g., $\Sigma \partial^2 / \partial x_i^2$ ). Let $S(U)$ denote the space of $C^{\infty}$ solutions to $L f=0$ in $U$. This is a presheaf with values in $\mathbb{R}$.

Example 2.1.7. Let $X=\mathbb{R}^n$. The sets $L^p(U)$ of measurable functions $f: U \rightarrow \mathbb{R}$ satisfying $\int_U|f|^p<\infty$ form a presheaf.

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As explained in the introduction, a manifold consists of a topological space with a distinguished class of functions that looks locally like $\mathbb{R}^n$. We now set up the language necessary to give a precise definition. Let $k$ be a field. Then $\operatorname{Map}_k(X)$ is a commutative $k$-algebra with pointwise addition and multplication.

Definition 2.2.1. Let $\mathscr{R}$ be a sheaf of $k$-valued functions on $X$. We say that $\mathscr{R}$ is a sheaf of algebras if each $R(U) \subseteq \operatorname{Map}_k(U)$ is a subalgebra when $U$ is nonempty. We call the pair $(X, \mathscr{R})$ a concrete ringed space over $k$ or simply a concrete $k$-space. We will sometimes refer to elements of $\mathscr{R}(U)$ as distinguished functions.

The sheaf $\mathscr{R}$ is called the structure sheaf of $X$. In this chapter, we usually omit the modifier “concrete,” but we will use it later on after we introduce a more general notion. Basic examples of $\mathbb{R}$-spaces are $\left(\mathbb{R}^n\right.$, Cont $\left._{\mathbb{R}^n, \mathbb{R}}\right)$ and $\left(\mathbb{R}^n, C^{\infty}\right)$, while $\left(\mathbb{C}^n, \mathscr{O}\right)$ is an example of a $\mathbb{C}$-space.

We also need to consider maps $F: X \rightarrow Y$ between such spaces. We will certainly insist on continuity, but in addition we require that when a distinguished function is precomposed with $F$, or “pulled back” along $F$, it remain distinguished.
Definition 2.2.2. A morphism of $k$-spaces $(X, \mathscr{R}) \rightarrow(Y, \mathscr{S})$ is a continuous map $F: X \rightarrow Y$ such that if $f \in \mathscr{S}(U)$, then $F^* f \in \mathscr{R}\left(F^{-1} U\right)$, where $F^* f=\left.f \circ F\right|_{f^{-1} U}$.
It is worthwhile noting that this completely captures the notion of a $C^{\infty}$, or holomorphic, map between Euclidean spaces.
Example 2.2.3. A $C^{\infty}$ map $F: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ induces a morphism $\left(\mathbb{R}^n, C^{\infty}\right) \rightarrow\left(\mathbb{R}^m, C^{\infty}\right)$ of $\mathbb{R}$-spaces, since $C^{\infty}$ functions are closed under composition. Conversely, if $F$ is a morphism, then the coordinate functions on $\mathbb{R}^m$ are expressible as $C^{\infty}$ functions of the coordinates of $\mathbb{R}^n$, which implies that $F$ is $C^{\infty}$.

Example 2.2.4. Similarly, a continuous map $F: \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^m$ induces a morphism of $\mathbb{C}$-spaces if and only if it is holomorphic.

This is a good place to introduce, or perhaps remind the reader of, the notion of a category [82]. A category $\mathscr{C}$ consists of a set (or class) of objects $\mathrm{Obj} \mathscr{C}$ and for each pair $A, B \in \mathscr{C}$, a set $\operatorname{Hom}{\mathscr{C}}(A, B)$ of morphisms from $A$ to $B$. There is a composition law $$ \text { o: } \operatorname{Hom}{\mathscr{C}}(B, C) \times \operatorname{Hom}{\mathscr{C}}(A, B) \rightarrow \operatorname{Hom}{\mathscr{C}}(A, C),
$$

and distinguished elements $i d_A \in \operatorname{Hom}{\mathscr{C}}(A, A)$ that satisfy (C1) associativity: $f \circ(g \circ h)=(f \circ g) \circ h$, (C2) identity: $f \circ \mathrm{id}_A=f$ and $\mathrm{id}_A \circ g=g$, whenever these are defined. Categories abound in mathematics. A basic example is the category of Sets. The objects are sets, $\operatorname{Hom}{\text {Sets }}(A, B)$ is just the set of maps from $A$ to $B$, and composition and $\mathrm{id}_A$ have the usual meanings. Similarly, we can form the category of groups and group homomorphisms, the category of rings and ring homomorphisms, and the category of topological spaces and continuous maps. We have essentially constructed another example. We can take the class of objects to be $k$-spaces, and morphisms as above. These can be seen to constitute a category once we observe that the identity is a morphism and the composition of morphisms is a morphism.

The notion of an isomorphism makes sense in any category. We will spell this out for $k$-spaces.

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复几何代写

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正如我们面所说,我们需要定义滑轮以便最终定义流形和品种。我们从一个更原始的概念开始。在数学的许多部分,我们会遇到 具有不同函数类的拓扑空间: 拓扑空间上的连续函数, $C^{\infty}$ – 功能开启 $\mathbb{R}^n$ ,全纯函数 $\mathbb{C}^n$ ,等等。这些函数可能具有奇异性,因此 它们只能在空间的子集上定义; 我们将主要对这些子集是开放的情况咸兴趣。如果这样的函数焦合在限制下是封闭的,我们就说它 是 个预层。给定集合 $X$ 和 $T$ ,让 $\operatorname{Map}T(X)$ 表示从 $X$ 至 $T$. 这是预层的精确定义,或者更确切地说是我们目前需要的那种预层。 定义 2.1.1。假设 $X$ 是一个拓扑空间并且 $T$ 个非空集。一㧽 $T$ 值函数 $X$ 是子集的集合 $\mathscr{P}(U) \subseteq \operatorname{Map}_T(U)$ ,对于每个打开 $U \subseteq X$ ,这样限制 $\left.f\right|_V$ 属于 $\mathscr{P}(V)$ 每当 $f \in \mathscr{P}(U)$ 和 $V \subset U$ 所有功能的焦合 $\operatorname{Map} T(U)$ 当然是presheaf。不那 简单: 示例 2.1.2。让 $T$ 是一个拓扑空间。那 连续函数集 Cont $X, T(U)$ 从 $U \subseteq X$ 至 $T$ 是一个预囪。 示例 2.1.3。让 $X$ 是一个拓扑空间,让 $T$ 成为一个集合。套装 $T^P(U)$ 的常数函数 $U$ 至 $T$ 是一个称为恒定预层的预层。 示例 2.1.4。让 $X=\mathbb{R}^n$. 套装 $C^{\infty}(U)$ 的 $C^{\infty}$ 实值函数形成一个预层。 示例 2.1.5。让 $X=\mathbb{C}^n$. 套装 $\mathscr{O}(U)$ 全㓜函数 $U$ 形成一个预掴。(多个变量的函数是全纯的,如果它是 $C^{\infty}$ 并且在每个变量中都是 全纯的。) 示例 2.1.6。让 $L$ 是 个线性微分算子 $\mathbb{R}^n$ 和 $C^{\infty}$ 系数 (例奴, $\left.\Sigma \partial^2 / \partial x_i^2\right)$ 。让 $S(U)$ 表示空间 $C^{\infty}$ 解决方䅁 $L f=0$ 在 $U$. 这是 个带有值的预装止. 例 2.1.7。让 $X=\mathbb{R}^n$. 镸装 $L^p(U)$ 可测量函数 $f: U \rightarrow \mathbb{R}$ 令人满意的 $\int_U|f|^p<\infty$ 形成一个预捆。

数学代写|复几何代写Complex Geometry代考|Manifolds

定义 2.2.1。让 $\mathscr{R}$ 成为一㧽 $k$ 值函数 $X$. 我们说 $\mathscr{R}$ 是一束代数,如果每个 $R(U) \subseteq \operatorname{Map}_k(U)$ 是一个子代数,当 $U$ 是非空的。我们 称这对 $(X, \mathscr{R})$ 一个混欵土环形空间 $k$ 或者只是一个具体的 $k$-空间。我们有时会提到元塐 $\mathscr{R}(U)$ 作为杰出的功能。 $\mathbb{R}-$ 空格是 $\left(\mathbb{R}^n\right.$, 续 $\left.\mathbb{R}^n, \mathbb{R}\right)$ 和 $\left(\mathbb{R}^n, C^{\infty}\right)$ ,尽管 $\left(\mathbb{C}^n, \mathscr{O}\right)$ 是一个例子 $\mathbb{C}$-空间。 我们还需要考慮地图 $F: X \rightarrow Y$ 在这样的空间之间。我们当然会坚持连续性,但此外,我们还要求当一个杰出的功能预先组合 $F$ ,或“拉回” $F$ ,它仍然是可区分的。 定义 2.2.2。的态射 $k$-空格 $(X, \mathscr{R}) \rightarrow(Y, \mathscr{S})$ 是 张车绞的地图 $F: X \rightarrow Y$ 这样如果 $f \in \mathscr{S}(U)$ ,然后 $F^* f \in \mathscr{R}\left(F^{-1} U\right)$ ,在哪里 $F^* f=\left.f \circ F\right|{f-1}{ }^{-}$.
值得注意的是,这完全抓住了一个概念 $C^{\infty}$ ,或全纯,欧几里得空间之间的映射。
示例 2.2.3。一个 $C^{\infty}$ 地图 $F: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ 引发态射 $\left(\mathbb{R}^n, C^{\infty}\right) \rightarrow\left(\mathbb{R}^m, C^{\infty}\right)$ 的 $\mathbb{R}$-空格,因为 $C^{\infty}$ 功能在组合下是封闭的。相
示例 2.2.4。同样,连续映射 $F: \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^m$ 引出一个态射 $\mathbb{C}$ – 空间当且仅当它是全纯的。 $\operatorname{Hom} \mathscr{C}(A, B)$ 的态射来自 $A$ 至 $B$. 有一个组成规律
o: $\operatorname{Hom} \mathscr{C}(B, C) \times \operatorname{Hom} \mathscr{C}(A, B) \rightarrow \operatorname{Hom} \mathscr{C}(A, C)$,
和杰出的元㶻 $i d_A \in \operatorname{Hom} \mathscr{C}(A, A)$ 满足 $(\mathrm{c} 1)$ 关联性: $f \circ(g \circ h)=(f \circ g) \circ h$ (c2) 身份: $f \circ \mathrm{id}_A=f$ 和id ${ }_A \circ g=g$ ,只要定义了这些。数学中的类别比比皆是。一个基本的例子是集合的类别。对象是集合,Hom $\operatorname{Sets}(A, B)$ 只是一组地图 $A$ 至 $B$ ,和组成和id $A_A$ 具有通常的含义。类似地,我们可以形成群和群同态的范帱,环和同态的范䁃,以及拓扑空间和连续映射的范 畴。我们基本上构建了另一个例子。我们可以把对象的类 $k$-空间和态射如上。一旦我们观䕓到怚等元是一个态射并且态射的组合 是一个态射,就可以看出这些构成了一个范暳。
同构的概念在任何类别中都是有意义的。我们将说明这一点 $k$-空格。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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