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# 数学代写|非线性偏微分方程代写Nonlinear Partial Differential Equation代考|MA788 GENERALIZED BURGERS’ EQUATION

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## 数学代写|非线性偏微分方程代写Nonlinear Partial Differential Equation代考|GENERALIZED BURGERS’ EQUATION

Here we consider a generalization of the Hopf-Cole transformation. Can we connect the following NLPDEs
\begin{aligned} u_t+A(u) u_x &=u_{x x}, \ v_t+B(v) v_x &=v_{x x}, \end{aligned}
via the substitution
Substituting (3.29) into (3.28a) and imposing (3.28b) leads to the following determining equations:
$$u=F\left(v, v_x\right), \quad F_{v_x} \neq 0 ?$$
where $p=v_x$. Differentiating (3.30b) with respect to $p$ twice (using (3.30a)) gives
$$F_p^3 A^{\prime \prime}(F)=0 .$$

From (3.31) and (3.30a) we find
$$A(F)=c_1 F+c_2, \quad F=F_1(v) p+F_2(v),$$
where $c_1$ and $c_2$ are arbitrary constants and $F_1$ and $F_2$ are arbitrary functions. With these assignments, returning to (3.30b) and isolating coefficients with respect to $p$ gives
\begin{aligned} 2 F_1^{\prime}-c_1 F_1^2 &=0, \ F_1\left(B-c_1 F_2-c_2\right) &=0, \end{aligned}
which we conveniently solve as
$$F_1=\frac{-2}{c_1 v+c_3}, \quad B=c_1 F+c_2,$$
where $c_3$ is an additional arbitrary constant. The remaining equation in (3.30c) becomes
$$F_2^{\prime \prime}=0,$$
which we solve as
$$F_2=c_4 v+c_5 \text {. }$$
With appropriate translation and scaling of variables we can set the following: $c_1=1, c_2=$ $c_4=c_5=0$, and suppress the subscript in $c_3$. Thus, we have the following: solutions of
$$u_t+u u_x=u_{x x}$$
can be obtained via
$$u=-2 \frac{v_x}{v}+c v$$
where $v$ satisfies
$$v_t+c v v_x=v_{x x} .$$
If we set $c=0$ we get the Hopf-Cole transformation. It is interesting to note that if we set $c=1$, we get a transformation which gives rise to solutions of the same equation.

## 数学代写|非线性偏微分方程代写Nonlinear Partial Differential Equation代考|KDV-MKDV CONNECTION

The Korteweg-deVries equation (KdV)
$$u_t+6 u u_x+u_{x x x}=0,$$
first introduced by Korteweg and DeVries [56] to model shallow water waves, is a remarkable NLPDE. It has a number of applications and possesses a number of special properties (see, for example, Miura [57]). In 1968, Robert Miura found this remarkable transformation [58]. He found that solutions of the $\mathrm{KdV}$ equation (3.40) can be found using solutions of the modified Korteweg-deVries $(\mathrm{MKdV})$ equation
$$v_t-6 v^2 v_x+v_{x x x}=0,$$
via the transformation
$$u=v_x-v^2,$$
which today is known as the Miura transformation. We ask whether it’s possible to connect two general $\mathrm{KdV}$-type equations.

## 数学代写非线性偏微分方程代写Nonlinear Partial Differential Equation代 考|GENERALIZED BURGERS’ EQUATION

$$u_t+A(u) u_x=u_{x x}, v_t+B(v) v_x \quad=v_{x x}$$

$$u=F\left(v, v_x\right), \quad F_{v_x} \neq 0 ?$$

$$F_p^3 A^{\prime \prime}(F)=0$$
$从(3.31)$ 和 $(3.30 \mathrm{a})$ 戈们发现
$$A(F)=c_1 F+c_2, \quad F=F_1(v) p+F_2(v)$$

$$2 F_1^{\prime}-c_1 F_1^2=0, F_1\left(B-c_1 F_2-c_2\right) \quad=0$$

$$F_1=\frac{-2}{c_1 v+c_3}, \quad B=c_1 F+c_2$$

$$F_2^{\prime \prime}=0,$$

$$F_2=c_4 v+c_5$$

$$u_t+u u_x=u_{x x}$$

$$u=-2 \frac{v_x}{v}+c v$$

$$v_t+c v v_x=v_{x x} .$$

## 数学代写|非线性偏微分方程代写Nonlinear Partial Differential Equation代 考|KDV-MKDV CONNECTION

Korteweg-deVries 方程 (KdV)
$$u_t+6 u u_x+u_{x x x}=0,$$
Korteweg 和 DeVries [56] 首次引入用于模拟浅水波，是 个了不起的 NLPDE。它有许多应用并具有许侈特殊属性 (例如，参 见 Miura [57])。 1968 年，Robert Miura 发现了这种显着的转变 [58]。他发现解快方琲KdV方程 (3.40) 可以使用修改后的 Korteweg-deVries 的解来找到 $(\mathrm{MKdV})$ 方程
$$v_t-6 v^2 v_x+v_{x x x}=0$$

$$u=v_x-v^2$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。