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# 数学代写|非线性偏微分方程代写Nonlinear Partial Differential Equation代考|MATD46 Compatibility

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## 数学代写|非线性偏微分方程代写Nonlinear Partial Differential Equation代考|Compatibility

We start our discussion by first solving the NPDE
$$x u_x-u_y^2=2 u,$$
subject to the boundary condition
$$u(x, x)=0 .$$
As with most introductory courses in partial differential equations (see, for example, [37]) we use the method of characteristics. Here, we define $F$ as
$$F=x p-q^2-2 u .$$
The characteristic equations become
\begin{aligned} &x_s=F_p=x, \ &y_s=F_q=-2 q, \ &u_s=p F_p+q F_q=x p-2 q^2, \ &p_s=-F_x-p F_u=p, \ &q_s=-F_y-q F_u=2 q . \end{aligned}
In order to solve the PDE (2.1) we will need to solve the system (2.4). As (2.1) has a boundary condition (BC), we will create BCs for the system (2.4). In the $(x, y)$ plane, the line $y=x$ is the boundary where $u$ is defined. To this, we associate a boundary in the $(r, s)$ plane. Given the flexibility, we can choose $s=0$ and connect the two boundaries via $x=r$. Therefore, we have
$$x=r, \quad y=r, \quad u=0 \text { when } s=0 .$$
To determine $p$ and $q$ on $s=0$, it is necessary to consider the initial condition $u(x, x)=0$. Differentiating with respect to $x$ gives
$$u_x(x, x)+u_y(x, x)=0 .$$
From the original PDE (2.1)
$$x u_x(x, x)-u_y^2(x, x)=0 .$$
If we denote $p_0=u_x(x, x)$ and $q_0=u_y(x, x)$, then (2.6) and (2.7) become
$$p_0+q_0=0, \quad r p_0-q_0^2=0 .$$

## 数学代写|非线性偏微分方程代写Nonlinear Partial Differential Equation代考|CHARPIT’S METHOD

Obtaining exact solutions to NLPDEs such as (2.1) can be a difficult task as we are required to solve equations such as (2.4)! The difficulty is not so much in solving these characteristic equations but in eliminating the five arbitrary functions that appear upon integration. So we ask, is it possible to obtain exact solutions another way?
Consider the PDE
This integrates to give
$$u_y=-y .$$
$$u=-\frac{y^2}{2}+f(x)$$
and substitution into the original PDE (2.1) gives
$$x f^{\prime}=2 f .$$
This ODE is solved giving
$$f=c x^2$$
$$u=c x^2-\frac{y^2}{2}$$
and the initial condition (2.2) gives $c=1 / 2$, and leads to the solution given in (2.20).
Consider the PDE
$$u_x=x$$

## 数学代写|非线性偏微分方程代写Nonlinear Partial Differential Equation代 孝|Compatibility

$$x u_x-u_y^2=2 u$$

$$u(x, x)=0$$

$$F=x p-q^2-2 u$$

$$x_s=F_p=x, \quad y_s=F_q=-2 q, u_s=p F_p+q F_q=x p-2 q^2, \quad p_s=-F_x-p F_u=p, q_s=-F_y-q F_u=2 q .$$

$$x=r, \quad y=r, \quad u=0 \text { when } s=0 .$$

$$u_x(x, x)+u_y(x, x)=0 .$$

$$x u_x(x, x)-u_y^2(x, x)=0 .$$

$$p_0+q_0=0, \quad r p_0-q_0^2=0 .$$

## 数学代写非线性偏微分方程代写Nonlinear Partial Differential Equation代 考|CHARPIT’S METHOD

$$u_y=-y .$$
$$u=-\frac{y^2}{2}+f(x)$$

$$x f^{\prime}=2 f .$$

$$f=c x^2$$
$从(2.22)$ 导致
$$u=c x^2-\frac{y^2}{2}$$

$$u_x=x$$

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