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## 数学代写|测度论和傅里叶分析代写Measure Theory and Fourier Analysis代考|Find the Fourier series representations of the following

Find the Fourier series representations of the following:
a. $f(x)=x, x \in[0,2 \pi]$.
We first compute the Fourier coefficients. Note that we compute $a_0$ separately from $a_n$.
\begin{aligned} a_0 &=\frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} x d x=\left.\frac{x^2}{2 \pi}\right|_0 ^{2 \pi}=2 \pi \ a_n &=\frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} x \cos n x d x \ &=\frac{1}{\pi}\left[\frac{1}{n} x \sin n x+\frac{1}{n^2} \cos n x\right]_0^{2 \pi}=0 \ b_n &=\frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} x \sin n x d x \ &=\frac{1}{\pi}\left[-\frac{1}{n} x \cos n x+\frac{1}{n^2} \sin n x\right]_0^{2 \pi}=-\frac{2}{n} \end{aligned}

The Fourier series is given by
$$f(x) \sim \pi-2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n} .$$
A plot of the first terms of the series is given in Figure 2.4.
b. $f(x)=\frac{x^2}{4},|x|<\pi$.
$f(x)$ is an even function on $|x|<\pi$. So, $b_n=0$ for all $n$. We only need the $a_n$ ‘s.
$$a_0=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \frac{x^2}{4} d x=\frac{2}{4 \pi} \int_0^\pi x^2 d x=\frac{\pi^2}{6} .$$
\begin{aligned} a_n &=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \frac{x^2}{4} \cos n x d x \ &=\frac{1}{2 \pi} \int_0^\pi x^2 \cos n x d x \ &=\frac{1}{2 \pi}\left[\frac{1}{n} x^2 \sin n x+\frac{2}{n^2} x \cos n x-\frac{2}{n^3} \sin n x\right]0^\pi \ &=\frac{1}{2 \pi}\left(\frac{2}{n^2} \pi \cos n \pi\right)=\frac{\cos n \pi}{n^2}=\frac{(-1)^n}{n^2} . \end{aligned} Then,the Fourier series is given as $$f(x) \sim \frac{\pi^2}{12}+\sum{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos n x .$$
A plot of the first terms of the series is given in Figure $2.5$.

## 数学代写|测度论和傅里叶分析代写Measure Theory and Fourier Analysis代考|We ﬁﬁrst compute the Fourier coefﬁﬁcients

d. $f(x)= \begin{cases}x, & 0<x<\pi, \ \pi, & \pi<x<2 \pi .\end{cases}$
We first compute the Fourier coefficients.
\begin{aligned} a_0 &=\frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} f(x) d x \ &=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi x d x+\frac{1}{\pi} \int_\pi^{2 \pi} \pi d x \ &=\left.\frac{1}{\pi} \frac{x^2}{2}\right|0 ^\pi+\left.x\right|\pi ^{2 \pi} \ &=\frac{\pi}{2}+(2 \pi-\pi)=\frac{3}{2} \pi . \ a_n &=\frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} f(x) \cos n x d x \ &=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi x \cos n x d x+\frac{1}{\pi} \int_\pi^{2 \pi} \pi \cos n x d x \ &=\frac{1}{\pi}\left[\frac{1}{n} x \sin n x+\frac{1}{n^2} \cos n x\right]0^\pi+\left.\frac{1}{n} \sin n x\right|\pi ^{2 \pi} \ &=\frac{\cos n \pi-1}{\pi n^2} . \ b_n &=\frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} f(x) \sin n x d x \ &=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi x \sin n x d x+\frac{1}{\pi} \int_\pi^{2 \pi} \pi \sin n x d x \ &=\frac{1}{\pi}\left[-\frac{1}{n} x \cos n x+\frac{1}{n^2} \sin n x\right]0^\pi-\left.\frac{1}{n} \cos n x\right|\pi ^{2 \pi} \ &=-\frac{1}{n} . \end{aligned}
The resulting Fourier series is
$$f(x) \sim \frac{3 \pi}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{\cos n \pi-1}{\pi n^2} \cos n x-\frac{1}{n} \sin n x\right] .$$

## 数学代写测度论和傅里叶分析代写Measure Theory and Fourier Analysis代考|Find the Fourier series representations of the following

a. $f(x)=x, x \in[0,2 \pi]$.

$$a_0=\frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} x d x=\left.\frac{x^2}{2 \pi}\right|0 ^{2 \pi}=2 \pi a_n \quad=\frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} x \cos n x d x=\frac{1}{\pi}\left[\frac{1}{n} x \sin n x+\frac{1}{n^2} \cos n x\right]_0^{2 \pi}=0 b_n=\frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} x \sin n x d x=\frac{1}{\pi}\left[-\frac{1}{n} x \cos n x+\right.$$ 傅里叶级数由下式给出 $$f(x) \sim \pi-2 \sum{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n}$$

$f(x)$ 是一个偶函数 $|x|<\pi$. 所以， $b_n=0$ 对所有人 $n$. 我们只需要 $a_n$ 的。
$$a_0=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \frac{x^2}{4} d x=\frac{2}{4 \pi} \int_0^\pi x^2 d x=\frac{\pi^2}{6}$$
$a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \frac{x^2}{4} \cos n x d x \quad=\frac{1}{2 \pi} \int_0^\pi x^2 \cos n x d x=\frac{1}{2 \pi}\left[\frac{1}{n} x^2 \sin n x+\frac{2}{n^2} x \cos n x-\frac{2}{n^3} \sin n x\right] 0^\pi \quad=\frac{1}{2 \pi}\left(\frac{2}{n^2} \pi \cos n \pi\right)=\frac{\cos n \pi}{n^2}=\frac{(-1)^n}{n^2}$

$$f(x) \sim \frac{\pi^2}{12}+\sum n=1^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos n x$$

## 数学代写测度论和傅里叶分析代写Measure Theory and Fourier Analysis代考|We fifirst compute the Fourier coeffificientsd. $f(x)={x, \quad 0<x<\pi, \pi, \quad \pi<x<2 \pi$.

$$a_0=\frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} f(x) d x \quad=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi x d x+\frac{1}{\pi} \int_\pi^{2 \pi} \pi d x=\frac{1}{\pi} \frac{x^2}{2}\left|0^\pi+x\right| \pi^{2 \pi} \quad f(x) \cos n x d x \quad \frac{\pi}{2}+(2 \pi-\pi)=\frac{3}{2} \pi . a_n=\frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi}$$

$$f(x) \sim \frac{3 \pi}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{\cos n \pi-1}{\pi n^2} \cos n x-\frac{1}{n} \sin n x\right]$$

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