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# 数学代写|随机分析代写Stochastic Analysis in Finance代考|MATH4512 Deﬁﬁnition of Stochastic Differential Equation

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## 数学代写|随机分析代写Stochastic Analysis in Finance代考|Deﬁﬁnition of Stochastic Differential Equation

Let $N \geqq 1, d \geqq 1$, and $\sigma_k:[0, \infty) \times \mathbf{R}^N \rightarrow \mathbf{R}^N, k=0,1, \ldots, d$, be Borel measurable functions. Let us consider a stochastic differential equation
$$d X(t)=\sum_{k=1}^d \sigma_k(t, X(t)) d w^k(t)+\sigma_0(t, X(t)) d t .$$
Definition 6.2.1 We say that $X$ is a solution to the stochastic differential equation (6.7), if there is a standard filtered probability space $\left(\Omega, \mathcal{F}, P,\left{\mathcal{F}t\right}{t \in[0, \infty)}\right)$, $d$-dimensional $\left{\mathcal{F}t\right}{t \in[0, \infty)}$-Brownian motion $B:[0, \infty) \times \Omega \rightarrow \mathbf{R}^d$, and an $N$ dimensional adapted continuous process $X:[0, \infty) \times \Omega \rightarrow \mathbf{R}^N$ such that
$$P\left(\sum_{k=1}^d \int_0^T\left|\sigma_k(t, X(t))\right|^2 d t+\int_0^t\left|\sigma_0(t, X(t))\right| d t<\infty\right)=1, \quad T>0,$$
and
$$X(t)=X(0)+\sum_{k=1}^d \int_0^t \sigma_k(s, X(s)) d B^k(s) d s+\int_0^t \sigma_0(s, X(s)) d s, \quad t \in[0, \infty) .$$
Let $W^N$ be the set of all continuous functions $w:[0, \infty) \rightarrow \mathbf{R}^N$, and let $d_W$ : $W^N \times W^N \rightarrow[0, \infty)$ be a metric function on $W^N$ given by
$$d_W\left(w_1, w_2\right)=\sum_{k=1}^{\infty} 2^{-k} \wedge \max _{t \in[0, k]}\left|w_1(t)-w_2(t)\right|, \quad w_1, w_2 \in W^N$$

## 数学代写|随机分析代写Stochastic Analysis in Finance代考|Uniqueness of a Solution to Martingale Problem

Let $N \geqq 1$. We assume that $\sigma_k:[0, \infty) \times \mathbf{R}^N \rightarrow \mathbf{R}^N, k=0,1, \ldots, d$, are continuous functions satisfying the following two conditions, local Lipschitz continuity condition (LLC) and growth condition (G).

(LLC) For any $R>0$ there exists a $K_R \in(0, \infty)$ such that $\left|\sigma_k(t, x)-\sigma_k(t, y)\right| \leqq K_R|x-y|, \quad t \in[0, R], x, y \in B_R, k=0,1, \ldots, d$.
(G) There is a $C \in(0, \infty)$ such that
$$\frac{1}{2} \sum_{k=1}^N\left|\sigma_k(t, x)\right|^2+\sum_{i=1}^N \sigma_0^i(t, x) x^i \leqq C\left(1+|x|^2\right), \quad x \in \mathbf{R}^N, t \in[0, \infty) .$$
We also define continuous functions $a^{i j}:[0, \infty) \times \mathbf{R}^N \rightarrow \mathbf{R}, i, j=1, \ldots, N$, $b^i:[0, \infty): \mathbf{R}^N \rightarrow \mathbf{R}, i, j=1, \ldots, N$, by
$$a^{i j}(t, x)=\sum_{k=1}^d \sigma_k^i(t, x) \sigma_k^j(t, x) \text { and } b^i(t, x)=\sigma_0^i(t, x)$$
for any $t \in[0, \infty), x \in \mathbf{R}^N, i, j=1, \ldots, N$, and define a second order linear partial differential operator $L$ by
$$L f(t, x)=\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^d a^{i j}(t, x) \frac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j}(x)+\sum_{i=1}^d b^i(t, x) \frac{\partial f}{\partial x^i}(x), \quad x \in \mathbf{R}^N, f \in C^2\left(\mathbf{R}^N\right) .$$
Then we have the following.

## 数学代写|随机分析代写Stochastic Analysis in Finance代考|Defifinition of Stochastic Differential Equation

$$d X(t)=\sum_{k=1}^d \sigma_k(t, X(t)) d w^k(t)+\sigma_0(t, X(t)) d t .$$

-布朗运动 $B:[0, \infty) \times \Omega \rightarrow \mathbf{R}^d$ ，和 $N$ 尺寸适应连絞程
$X:[0, \infty) \times \Omega \rightarrow \mathbf{R}^{N^2 \text { 这样 }}$
$$P\left(\sum_{k=1}^d \int_0^T\left|\sigma_k(t, X(t))\right|^2 d t+\int_0^t\left|\sigma_0(t, X(t))\right| d t<\infty\right)=1, \quad T>0,$$
$$X(t)=X(0)+\sum_{k=1}^d \int_0^t \sigma_k(s, X(s)) d B^k(s) d s+\int_0^t \sigma_0(s, X(s)) d s, \quad t \in[0, \infty) .$$

$$d_W\left(w_1, w_2\right)=\sum_{k=1}^{\infty} 2^{-k} \wedge \max {t \in[0, k]}\left|w_1(t)-w_2(t)\right|, \quad w_1, w_2 \in W^N$$

## 数学代写|随机分析代写Stochastic Analysis in Finance代考|Uniqueness of a Solution to Martingale Problem

$$a^{i j}(t, x)=\sum_{k=1}^d \sigma_k^i(t, x) \sigma_k^j(t, x) \text { and } b^i(t, x)=\sigma_0^i(t, x)$$

$$L f(t, x)=\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^d a^{i j}(t, x) \frac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j}(x)+\sum_{i=1}^d b^i(t, x) \frac{\partial f}{\partial x^i}(x), \quad x \in \mathbf{R}^N, f \in C^2\left(\mathbf{R}^N\right) .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。