Posted on Categories:数学代写, 随机分析

# 数学代写|随机分析代写Stochastic Analysis in Finance代考|MATH581 Dynkin’s Lemma

avatest™

## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

•最快12小时交付

•200+ 英语母语导师

•70分以下全额退款

## 数学代写|随机分析代写Stochastic Analysis in Finance代考|Dynkin’s Lemma

We prove Proposition 1.1.6 in this section.
Definition 8.1.1 We say that a family $C$ of subsets of a set $S$ is a $\pi$-system, if $A \cap B \in C$ for any $A, B \in C$.

Definition 8.1.2 We say that a family $\mathcal{D}$ of subsets of a set $S$ is a Dynkin class over $S$, if the following three conditions are satisfied.
(1) $S \in \mathcal{D}$.
(2) If $A, B \in \mathcal{D}$ and $A \subset B$, then $B \backslash A \in \mathcal{D}$.
(3) If $A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{D}$ is a sequence of non-decreasing sets, i,e, $A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset$ $\cdots$, then $\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{D}$.

Proposition 8.1.1 Let $\mathcal{A}$ be a family of subsets of a set $S$. Then the following are equivalent.
(1) $\mathcal{A}$ is a $\sigma$-algebra over $S$.
(2) $\mathcal{A}$ is a $\pi$-system and a Dynkin class over $S$.
Proof It is obvious that (1) implies (2). Suppose that (2) holds. Then for any $A, B \in$ $\mathcal{A}$ we see that
$$A \cup B=S \backslash((S \backslash A) \cap(S \backslash B)) \in \mathcal{A} .$$
Suppose that $A_n \in \mathcal{A}, n=1,2, \ldots$. Let $B_n=\bigcup_{k=1}^n A_n, n=1,2, \ldots$. Then we see that $B_n \in \mathcal{A}$ and $B_1 \subset B_2 \subset \cdots$. So we see that $\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n=\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n \in \mathcal{A}$. This implies that $\mathcal{A}$ is a $\sigma$-algebra.

## 数学代写|随机分析代写Stochastic Analysis in Finance代考|L2-Weakly Compact

Definition 8.3.1 Let $X, X_n \in \mathcal{L}^2, n=1,2, \ldots$ We say that $X_n, n=1,2, \ldots$, converges to $X \mathcal{L}^2$-weakly, if
$$E\left[X_n Z\right] \rightarrow E[X Z], \quad n \rightarrow \infty$$
for any $Z \in \mathcal{L}^2$.
We prove the following in this section.
Proposition 8.3.1 Suppose that $X_n \in \mathcal{L}^2, n=1,2, \ldots$, satisfy $\sup {n \geqq 1} E\left[X_n^2\right]<$ $\infty$. Then there exist a subsequence $X{n_k}, k=1,2, \ldots$, and $Y \in \mathcal{L}^2$ such that $X_{n_k}$, $k=1,2, \ldots$, converge to $Y \mathcal{L}^2$-weakly as $k \rightarrow \infty$.
This property for $\left{X_n\right}$ is called weak compactness.
Proof We define an equivalent relation $\sim$ in $\mathcal{L}^2=\mathcal{L}^2(\Omega, \mathcal{F}, P)$ by the following. $Z_1 \sim Z_2$ if $Z_1=Z_2$ a.s. for $Z_1, Z_2 \in \mathcal{L}^2$. Let $L^2(\Omega, \mathcal{F}, P)=\mathcal{L}^2 / \sim$ and let us define an inner product in $L^2(\Omega, \mathcal{F}, P)$ by $\left((Z / \sim),\left(Z^{\prime} / \sim\right)\right)=E\left[Z Z^{\prime}\right], Z, Z^{\prime} \in$ $\mathcal{L}^2$. Now let us define vector subspaces $E_n, n=0,1,2, \ldots$, in $\mathcal{L}^2$ by $E_0={0}$, $E_n=\left{\sum_{k=1}^n a_k X_k ; a_k \in \mathbf{R}, k=1, \ldots, n\right}, n=1,2, \ldots$. Then we see that $\left(E_n / \sim\right.$ ) $\subset\left(E_{n+1} / \sim\right)$ and $\operatorname{dim}\left(E_{n+1} / \sim\right) \leqq \operatorname{dim}\left(E_n / \sim\right)+1$. Let $V_n$ be the orthogonal space of $E_{n-1} / \sim$ in $E_n / \sim, n=1,2, \ldots$. Then we see that the dimension of $V_n$, $n=1,2, \ldots$, is 0 or 1 . Let $e_n \in \mathcal{L}^2, n=1,2, \ldots$, be given by the following. $e_n=0$ if the dimension of $V_n$ is 0 , and $e_n$ is a representative element of $V_n$ such that $E\left[e_n^2\right]=1$ if the dimension of $V_n$ is 1 . Then we see that
$$E\left[Z^2\right]=\sum_{m=1}^n E\left[Z e_m\right]^2+E\left[\left(Z-\sum_{m=1}^n E\left[Z e_m\right] e_m\right)^2\right]$$
for any $Z \in \mathcal{L}^2$ and $n \geqq 1$. In particular, we see that
$$\sum_{m=1}^{\infty} E\left[Z e_m\right]^2 \leqq E\left[Z^2\right]$$

## 数学代写|随机分析代写Stochastic Analysis in Finance代考|Dynkin’s Lemma

(1) $S \in \mathcal{D}$.
(2) 如果 $A, B \in \mathcal{D}$ 和 $A \subset B$ ，然后 $B \backslash A \in \mathcal{D}$.
(3) 如果 $A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{D}$ 是非递咸集合的序列，即， $A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset \cdots$, 然后 $\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathcal{D}$.

(1) $\mathcal{A}$ 是 个 $\sigma$-代数结束 $S$.
(2) $\mathcal{A}$ 是 个 $\pi$-system 和一个 Dynkin 类 $S$.

$$A \cup B=S \backslash((S \backslash A) \cap(S \backslash B)) \in \mathcal{A} .$$

## 数学代写|随机分析代写Stochastic Analysis in Finance代考|L2-Weakly Compact

$$E\left[X_n Z\right] \rightarrow E[X Z], \quad n \rightarrow \infty$$

$L^2(\Omega, \mathcal{F}, P)=\mathcal{L}^2 / \sim$ 让我们定义一个内积 $L^2(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 经过 $\left((Z / \sim),\left(Z^{\prime} / \sim\right)\right)=E\left[Z Z^{\prime}\right], Z, Z^{\prime} \in \mathcal{L}^2$. 现在让我们定 义向量子空间 $E_n, n=0,1,2, \ldots$ ，在 $\mathcal{L}^2$ 经过 $E_0=0$, \left 的分隔符缺失或无法识别 . 然后我们看到
$\left(E_n / \sim\right) \subset\left(E_{n+1} / \sim\right)$ 和dim $\left(E_{n+1} / \sim\right) \leqq \operatorname{dim}\left(E_n / \sim\right)+1$. 让 $V_n$ 是的正交空间 $E_{n-1} / \sim$ 在 $E_n / \sim, n=1,2, \ldots$.

$$E\left[Z^2\right]=\sum_{m=1}^n E\left[Z e_m\right]^2+E\left[\left(Z-\sum_{m=1}^n E\left[Z e_m\right] e_m\right)^2\right]$$

$$\sum_{m=1}^{\infty} E\left[Z e_m\right]^2 \leqq E\left[Z^2\right]$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。