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# 数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|MATH4010 The Spectral Theorem for Compact Normal Operators

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## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|The Spectral Theorem for Compact Normal Operators

Throughout this chapter we let $H$ be a Hilbert space.
From Linear Algebra we know that normal matrices can be orthogonally diagonalised. This result admits the following extension to compact normal operators on $H$ :
Theorem $9.1$ (Spectral theorem for compact normal operators). Let $T \in \mathscr{L}(H)$ be a compact normal operator and let $\left(\lambda_n\right){n \geqslant 1}$ be the (finite or infinite) sequence of its distinct eigenvalues. Let $\left(E_n\right){n \geqslant 1}$ be the corresponding sequence of eigenspaces, and let $\left(P_n\right){n \geqslant 1}$ be the associated sequence of orthogonal projections. Then: (1) the spaces $E_n$ are pairwise orthogonal and have dense linear span; (2) we have $$T=\sum{n \geqslant 1} \lambda_n P_n$$

with convergence in the operator norm of $\mathscr{L}(H)$.
Proof The proof of the theorem uses the properties spectra of compact operators on Banach spaces established in Theorem 7.11. In the present situation, where the compact operator acts on a Hilbert space, the proof of this theorem can be considerably shortened; see Problem 9.2.
(1): From Proposition $8.13$ (applied to $T-\lambda$ ) we see that $T x-\lambda x=0$ if and only if $T^{\star} x-\bar{\lambda} x=0$, so $\lambda$ is an eigenvalue for $T$ if and only if $\bar{\lambda}$ is an eigenvalue for $T^{\star}$ and the eigenspaces coincide.
If $y_m \in E_m$ and $y_n \in E_n$ are nonzero vectors, then
$$\lambda_m\left(y_m \mid y_n\right)=\left(T y_m \mid y_n\right)=\left(y_m \mid T^{\star} y_n\right)=\left(y_m \mid \overline{\lambda_n} y_n\right)=\lambda_n\left(y_m \mid y_n\right)$$

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Projection-Valued Measures

This section and the next deal with the preliminaries needed to state and prove the spectral theorem for bounded normal operators.
Let $(\Omega, \mathscr{F})$ be a measurable space.
Definition 9.6 (Projection-valued measures). A projection-valued measure on a measurable space $(\Omega, \mathscr{F})$ is a mapping $P: \mathscr{F} \rightarrow \mathscr{L}(H)$ that assigns to every set $F \in \mathscr{F}$ an orthogonal projection $P_F:=P(F) \in \mathscr{L}(H)$ such that the following conditions are satisfied:
(i) $P_{\Omega}=I$

(ii) for all $x \in H$ the mapping
$$F \mapsto\left(P_F x \mid x\right), \quad F \in \mathscr{F},$$
defines a measure on $(\Omega, \mathscr{F})$.
For $x \in H$ the measure defined by (ii) is denoted by $P_x$. Thus, for all $F \in \mathscr{F}$,
$$\left(P_F x \mid x\right)=P_x(F)=\int_{\Omega} \mathbf{1}F \mathrm{~d} P_x .$$ From $$P_x(\Omega)=\left(P{\Omega} x \mid x\right)=(x \mid x)=|x|^2$$
we see that $P_x$ is a finite measure.

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|The Spectral Theorem for Compact Normal Operators

$$T=\sum n \geqslant 1 \lambda_n P_n$$

(1): 从命题8.13 (应用于 $T-\lambda$ ) 我们看到 $T x-\lambda x=0$ 当且仅当 $T^{\star} x-\bar{\lambda} x=0$ ，所以 $\lambda$ 是 个特征值 $T$ 当且仅当 $\bar{\lambda}$ 是一个特 征值 $T^{\star}$ 并且特征空间重合。

$$\lambda_m\left(y_m \mid y_n\right)=\left(T y_m \mid y_n\right)=\left(y_m \mid T^{\star} y_n\right)=\left(y_m \mid \overline{\lambda_n} y_n\right)=\lambda_n\left(y_m \mid y_n\right)$$

## 数学代写|泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|Projection-ValuedMeasures

$P_F:=P(F) \in \mathscr{L}(H)$ 满足以下条件:
(i) $P_{\Omega}=I$
(ii) 为所有人 $x \in H$ 映射
$$F \mapsto\left(P_F x \mid x\right), \quad F \in \mathscr{F},$$

$$\left(P_F x \mid x\right)=P_x(F)=\int_{\Omega} \mathbf{1} F \mathrm{~d} P_x .$$

$$P_x(\Omega)=(P \Omega x \mid x)=(x \mid x)=|x|^2$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。