Posted on Categories:Additive Combinatorics, 加性组合, 数学代写

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The following general notational conventions will be used throughout the book.
Sets and functions
For any set $A$, we use
$$A^d:=A \times \cdots \times A=\left{\left(a_1, \ldots, a_d\right): a_1, \ldots, a_d \in A\right}$$
to denote the Cartesian product of $d$ copies of $A$ : thus for instance $\mathbf{Z}^d$ is the $d$ dimensional integer lattice. We shall occasionally denote $A^d$ by $A^{\oplus d}$, in order to distinguish this Cartesian product from the $d$-fold product set $A^{\cdot d}=A \cdot \ldots \cdot A$ of $A$, or the $d$-fold powers $A^{\wedge} d:=\left{a^d: a \in A\right}$ of $A$.

If $A, B$ are sets, we use $A \backslash B:={a \in A: a \notin B}$ to denote the set-theoretic difference of $A$ and $B$; and $B^A$ to denote the space of functions $f: A \rightarrow B$ from $A$ to $B$. We also use $2^A:={B: B \subset A}$ to denote the power set of $A$. We use $|A|$ to denote the cardinality of $A$. (We shall also use $|x|$ to denote the magnitude of a real or complex number $x$, and $|v|=\sqrt{v_1^2+\cdots+v_d^2}$ to denote the magnitude of a vector $v=\left(v_1, \ldots, v_d\right)$ in a Euclidean space $\mathbf{R}^d$. The meaning of the absolute value signs should be clear from context in all cases.)

If $A \subset Z$, we use $1_A: Z \rightarrow{0,1}$ to denote the indicator function of $A$ : thus $1_A(x)=1$ when $x \in A$ and $1_A(x)=0$ otherwise. Similarly if $P$ is a property, we let $\mathbf{I}(P)$ denote the quantity 1 if $P$ holds and 0 otherwise; thus for instance $1_A(x)=\mathbf{I}(x \in A)$.

We use $\left(\begin{array}{l}n \ k\end{array}\right)=\frac{n !}{k !(n-k) !}$ to denote the number of $k$-element subsets of an $n$-element set. In particular we have the natural convention that $\left(\begin{array}{l}n \ k\end{array}\right)=0$ if $k>n$ or $k<0$.

We shall rely frequently on the integers $\mathbf{Z}$, the positive integers $\mathbf{Z}^{+}:={1,2, \ldots}$, the natural numbers $\mathbf{N}:=\mathbf{Z}_{\geq 0}={0,1, \ldots}$, the reals $\mathbf{R}$, the positive reals $\mathbf{R}^{+}:={x \in \mathbf{R}: x>0}$, the non-negative reals $\mathbf{R}_{\geq 0}:={x \in \mathbf{R}: x \geq 0}$, and the complex numbers $\mathbf{C}$, as well as the circle group $\mathbf{R} / \mathbf{Z}:={x+\mathbf{Z}: x \in \mathbf{R}}$.

For any natural number $N \in \mathbf{N}$, we use $\mathbf{Z}_N:=\mathbf{Z} / N \mathbf{Z}$ to denote the cyclic group of order $N$, and use $n \mapsto n \bmod N$ to denote the canonical projection from $\mathbf{Z}$ to $\mathbf{Z}_N$. If $q$ is a prime power, we use $F_q$ to denote the finite field of order $q$ (see Section 9.4). In particular if $p$ is a prime then $F_p$ is identifiable with $\mathbf{Z}_p$.

If $x$ is a real number, we use $\lfloor x\rfloor$ to denote the greatest integer less than or equal to $x$.

## 加性组合代写

\eft 的分隔符缺失或无法识别 $A^{-d}=A \cdot \ldots \cdot A$ 的 $A$ ，或者 $d-$ 倍数权力 $\backslash \operatorname{left}$ 的分隔符缺失或无法识别 $\quad$ 的 $A$.

$|v|=\sqrt{v_1^2+\cdots+v_d^2}$ 表示向量的大小 $v=\left(v_1, \ldots, v_d\right)$ 在欧几里得空间 $\mathbf{R}^d$. 在所有情兄下，绝对值符号的含义应从上下文中 清楚。)

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。