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# 数学代写|整数优化代写Integer Programming代考|IEMS457 Generalized assignment problem

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## 数学代写|整数优化代写Integer Programming代考|Generalized assignment problem

In this chapter the generalized assignment problem (2.1) is considered. Minimize
$$\left[\begin{array}{llll} c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{m n} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x_{11} \ x_{12} \ \ldots \ x_{m n} \end{array}\right]$$
subject to
$$\left[\begin{array}{llll} a_{i 1} & a_{i 2} & \ldots & a_{i n} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x_{i 1} \ x_{i 2} \ \ldots \ x_{i n} \end{array}\right] \leq\left[b_i\right], \forall i=1,2, \ldots, m .$$
$$\left[\begin{array}{llll} x_{1 j} & x_{2 j} & \ldots & 2_{m j} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} 1 \ 1 \ \ldots \ 1 \end{array}\right]=[1], \forall j=1,2, \ldots, n .$$
where $x_{i j}=0$ or 1 ,
$i=1,2, \ldots m$, is a set of agents.
$j=1,2, \ldots n$, is a set of tasks.
$c_{i j}$ is the cost of assigning agent $i$ to task $j$.
$r_{i j}$ is the resource needed by agent $i$ to do task $j$.
$b_i$ is the resource available to agent $i$.

## 数学代写|整数优化代写Integer Programming代考|Relaxation process

The generalized assignment problem is relaxed by changing it into a transportation problem. The main reason is because transportation models are easier to solve than original linear programming version. Efficient techniques to solve the transportation models such as the MODI or network simplex method can be applied.
2.3 GAP model in relaxed form
The GAP constraints which are given in (2.2), can be replaced by clique inequalities given in (2.3).
\begin{aligned} &{\left[\begin{array}{llll} a_{i 1} & a_{i 2} & \ldots & a_{i n} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x_{i 1} \ x_{i 2} \ \ldots \ x_{i n} \end{array}\right] \leq\left[b_i\right], \forall i=1,2, \ldots, m .} \ &{\left[\begin{array}{llll} x_{i 1} & x_{i 2} & \ldots & x_{i n} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} 1 \ 1 \ \ldots \ 1 \end{array}\right] \leq\left[\lambda_i\right], \forall i=1,2, \ldots, m .} \end{aligned}
Where $\lambda_i$ is integer and is obtained by solving the knapsack problem in (2.4).
$$\lambda_i=\operatorname{Maximize}\left[\begin{array}{llll} \mathrm{x}{\mathrm{i} 1} & \mathrm{x}{\mathrm{i} 2} & \ldots & \mathrm{x}{\mathrm{in}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} 1 \ 1 \ \ldots \ 1 \end{array}\right],$$ Subject to $\left[\begin{array}{llll}a{i 1} & a_{i 2} & \ldots & a_{i n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_{i 1} \ x_{i 2} \ \ldots \ x_{i n}\end{array}\right] \leq\left[b_i\right]$
$0 \leq x_{i j} \leq 1$.
The optimal solution to this knapsack problem is obtained using simplex method.

## 数学代写|整数优化代写Integer Programming代考|Generalized assignment problem

$$\left[\begin{array}{llll} c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{m n} \end{array}\right]\left[\begin{array}{llll} x_{11} & x_{12} & \ldots & x_{m n} \end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{llll} a_{i 1} & a_{i 2} & \ldots & a_{i n} \end{array}\right]\left[\begin{array}{llll} x_{i 1} & x_{i 2} & \ldots & x_{i n} \end{array}\right] \leq\left[b_i\right], \forall i=1,2, \ldots, m$$

$i=1,2, \ldots m$, 是一组代理。
$j=1,2, \ldots n$, 是一组任务。
$c_i$ 是指派代理的成本 $i$ 任务 $j$.
$r_{i j}$ 是代理需要的资源 $i$ 做任务 $j$.
$b_i$ 是代理可用的资源 $i$.
$$\left[\begin{array}{llll} x_{1 j} & x_{2 j} & \ldots & 2_{m j} \end{array}\right]\left[\begin{array}{llll} 1 & 1 & \ldots & 1 \end{array}\right]=[1], \forall j=1,2, \ldots, n .$$

## 数学代写|整数优化代写Integer Programming代考|Relaxation process

$2.3$ 松弛形式

$\left[\begin{array}{llll}a_{i 1} & a_{i 2} & \ldots & a_{i n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{llll}x_{i 1} & x_{i 2} & \ldots & x_{i n}\end{array}\right] \leq\left[b_i\right], \forall i=1,2, \ldots, m . \quad\left[\begin{array}{llll}x_{i 1} & x_{i 2} & \ldots & x_{i n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & \ldots & 1\end{array}\right] \leq\left[\lambda_i\right], \forall i=1,2, \ldots, m$.

$$\lambda_i=\text { Maximize }\left[\begin{array}{llll} \text { xi1 } & \text { xi2 } & \ldots & \text { xin } \end{array}\right]\left[\begin{array}{llll} 1 & 1 & \ldots & 1 \end{array}\right],$$

$0 \leq x_{i j} \leq 1$.

## MATLAB代写

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