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Below, we apply the method to specific examples of initial value problems associated with nonlinear dynamic equations.

Example 6.2. As a first example, we consider the initial value problem known as the Beverton-Holt model. This model is a population growth model which was initially introduced by R. J. H. Beverton and S. J. Holt to describe the fish population [10]. It has been studied as a continuous and discrete model, that is, both as a differential and a difference equation. Here we consider the unification of Beverton-Holt model as a dynamic equation. In this particular example, we take the time scale as the set of nonnegative integers and get
$$x^{\Delta}(t)=\frac{\alpha x(t)}{1+\beta x(t)}, \quad x(0)=x_0, \quad t>0,$$
where $\alpha, \beta$ are real numbers. Take $\mathbb{T}=\mathbb{N}_0$ and $\left[t_0, t_f\right]=[0,20]$. The monomial $h_2$ on this time scale has the form
$$h_2(t, s)=\frac{(t-s)(t-s-1)}{2}, \quad t, s \in \mathbb{T} .$$

Problem 6.4. Let $\mathbb{T}=2^{\mathrm{N}_0}$. Consider the IVP
$$\left{\begin{array}{l} \chi^{\Delta}(t)=1+\frac{1+x(t)}{1+(x(t))^2}, \quad t>1, \ \chi(1)=1 \end{array}\right.$$
and assume that
$$a=t_0=1, \quad t_1=4, \quad t_2=16, \quad t_3=64, \quad t_4=b=216$$
Problem 6.5. Let
$$\mathbb{T}=\left{0, \frac{1}{8}, \frac{1}{7}, \frac{1}{6}, \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, 1, \frac{4}{3}, \frac{7}{3}, \frac{8}{3}, 3,7,11\right}$$
Consider the IVP
$$\left{\begin{array}{l} x^{\Delta}(t)=(1+x(t))^3, \quad t>0, \ x(0)=0 . \end{array}\right.$$
Problem 6.6. Let $\mathbb{T}=\mathbb{Z}$. Apply $\mathrm{AB}(2)$ method for the following IVP:
$$\left{\begin{array}{l} x^{\Delta}(t)=\sin _1(t, 0)+(x(t))^2, \quad t>0, \ x(0)=1, \end{array}\right.$$
where
$$a=t_0=0, \quad t_1=2, \quad t_2=4, \quad t_3=5, \quad t_4=b=6$$

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Beverton 和 SJ Holt 引入，用于描述鱼类种群 [10]。它已被研究为连续和离散模型，即作为微分方程和差分方程。在这里，我们 将 Beverton-Holt 模型的统一视为一个动态方程。在这个特定的例子中，我们将时间尺度作为一组非负整数并得到
$$x^{\Delta}(t)=\frac{\alpha x(t)}{1+\beta x(t)}, \quad x(0)=x_0, \quad t>0,$$

$$\正确的。 Writethe 2 – stepAdams – Bashforth formula. Problem 6.6. Let \ \mathbb{T}=\mathbb{Z} \$$. Apply $\$ \mathrm{AB}(2) \$$methodforthefollowingIVP : |剩下{$$
x^{\Delta}(t)=\sin _1(t, 0)+(x(t))^2, \quad t>0, x(0)=1,
$$\正确的。 where \ \$$

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