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# 数学代写|微积分代写Calculus代考|MATH1023 Integral Test-Harmonic Series, p-Series

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## 数学代写|微积分代写Calculus代考|Integral Test-Harmonic Series, p-Series

Topics

The divergence of the harmonic series.

The integral test.

p-series.

The Euler-Mascheroni constant.
Definitions and Theorems

The integral test: Let $f$ be a positive, continuous, and decreasing function for $x \geq 0$, and $a_n=f(n)$.
Then, $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ and $\int_1^{\infty} f(x) d x$ either both converge or both diverge.

The $p$-series $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}=\frac{1}{1^p}+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\cdots$ converges if $p>1$ and diverges if $0<p \leq 1$.

The harmonic series $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots$ is a $p$-series with $p=1$, and hence, the harmonic series diverges.

Let $S_n=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}$ be the $n^{\text {th }}$ partial sum of the harmonic series. The Euler-Mascheroni constant is $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[S_n-\ln n\right]=\gamma \approx 0.577216$.

## 数学代写|微积分代写Calculus代考|Alternating Series

Topics

Alternating series.

The alternating series test.

Conditional and absolute convergence.

Approximations.
Definitions and Theorems

Let $a_n>0$. The following are alternating series:
\begin{aligned} &\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n=-a_1+a_2-a_3+\cdots . \ &\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} a_n=a_1-a_2+a_3-\cdots . \end{aligned}

Let $a_n>0$. The alternating series test says that the alternating series $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$ and $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} a_n$ converge if $\lim {n \rightarrow \infty} a_n=0$ and $a{n+1} \leq a_n$, for all $\mathrm{n}$.

The series $\sum a_n$ is conditionally convergent if the series converges, but the series $\sum\left|a_n\right|$ diverges.

The series $\sum a_n$ is absolutely convergent if the series $\sum\left|a_n\right|$ converges.

Theorem: If $\sum\left|a_n\right|$ converges, then $\sum a_n$ converges.

Given a convergent alternating series with sum $S$, the absolute value of the remainder satisfies
$$\left|R_N\right|=\left|S-S_N\right| \leq a_{N+1} .$$

## 数学代写|微积分代写Calculus代考|Integral Test-Harmonic Series, p-Series

p系列。

$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n=-a_1+a_2-a_3+\cdots . \quad \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} a_n=a_1-a_2+a_3-\cdots .$$

$$\left|R_N\right|=\left|S-S_N\right| \leq a_{N+1}$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。