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# 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|MATH307 A Geometric Interpretation of the Orthogonal Projection

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## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|A Geometric Interpretation of the Orthogonal Projection

When $W$ is a one-dimensional subspace, the formula (2) for $\operatorname{proj}_W \mathbf{y}$ contains just one term. Thus, when $\operatorname{dim} W>1$, each term in (2) is itself an orthogonal projection of $\mathbf{y}$ onto a one-dimensional subspace spanned by one of the u’s in the basis for $W$. Figure 3 illustrates this when $W$ is a subspace of $\mathbb{R}^3$ spanned by $\mathbf{u}_1$ and $\mathbf{u}_2$. Here $\hat{\mathbf{y}}_1$ and $\hat{\mathbf{y}}_2$ denote the projections of $\mathbf{y}$ onto the lines spanned by $\mathbf{u}_1$ and $\mathbf{u}_2$, respectively. The orthogonal projection $\hat{\mathbf{y}}$ of $\mathbf{y}$ onto $W$ is the sum of the projections of $\mathbf{y}$ onto one-dimensional subspaces that are orthogonal to each other. The vector $\hat{\mathbf{y}}$ in Figure 3 corresponds to the vector $\mathbf{y}$ in Figure 4 of Section $6.2$, because now it is $\hat{\mathbf{y}}$ that is in $W$.

## 数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Properties of Orthogonal Projections

If $\left{\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_p\right}$ is an orthogonal basis for $W$ and if $\mathbf{y}$ happens to be in $W$, then the formula for $\operatorname{proj}_W \mathbf{y}$ is exactly the same as the representation of $\mathbf{y}$ given in Theorem 5 in Section 6.2. In this case, $\operatorname{proj}_W \mathbf{y}=\mathbf{y}$.
If $\mathbf{y}$ is in $W=\operatorname{Span}\left{\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_p\right}$, then $\operatorname{proj}_W \mathbf{y}=\mathbf{y}$.
This fact also follows from the next theorem.
The Best Approximation Theorem
Let $W$ be a subspace of $\mathbb{R}^n$, let $\mathbf{y}$ be any vector in $\mathbb{R}^n$, and let $\hat{\mathbf{y}}$ be the orthogonal projection of $\mathbf{y}$ onto $W$. Then $\hat{\mathbf{y}}$ is the closest point in $W$ to $\mathbf{y}$, in the sense that
$$|\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}|<|\mathbf{y}-\mathbf{v}|$$
for all $\mathbf{v}$ in $W$ distinct from $\hat{\mathbf{y}}$.
The vector $\hat{\mathbf{y}}$ in Theorem 9 is called the best approximation to y by elements of $W$. Later sections in the text will examine problems where a given $\mathbf{y}$ must be replaced, or approximated, by a vector $\mathbf{v}$ in some fixed subspace $W$. The distance from $\mathbf{y}$ to $\mathbf{v}$, given by $|\mathbf{y}-\mathbf{v}|$, can be regarded as the “error” of using $\mathbf{v}$ in place of $\mathbf{y}$. Theorem 9 says that this error is minimized when $\mathbf{v}=\hat{\mathbf{y}}$.

Inequality (3) leads to a new proof that $\hat{\mathbf{y}}$ does not depend on the particular orthogonal basis used to compute it. If a different orthogonal basis for $W$ were used to construct an orthogonal projection of $\mathbf{y}$, then this projection would also be the closest point in $W$ to $\mathbf{y}$, namely, $\hat{\mathbf{y}}$.

PROOF Take $\mathbf{v}$ in $W$ distinct from $\hat{\mathbf{y}}$. See Figure 4. Then $\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{v}$ is in $W$. By the Orthogonal Decomposition Theorem, $\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}$ is orthogonal to $W$. In particular, $\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}$ is orthogonal to $\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{v}$ (which is in $W$ ). Since
$$\mathbf{y}-\mathbf{v}=(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}})+(\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{v})$$
the Pythagorean Theorem gives
$$|\mathbf{y}-\mathbf{v}|^2=|\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}|^2+|\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{v}|^2$$
(See the colored right triangle in Figure 4. The length of each side is labeled.) Now $|\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{v}|^2>0$ because $\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$, and so inequality (3) follows immediately.

## 数学代写线性代数代写Linear algebra代考|Properties of Orthogonal Projections

$$|\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}|<|\mathbf{y}-\mathbf{v}|$$ 对所有人 $\mathbf{v}$ 在 $W$ 区别于 $\hat{\mathbf{y}}$. $W$. 距离 $\mathbf{y}$ 至 $\mathbf{v}$, 由 $|\mathbf{y}-\mathbf{v}|$, 可以看作是使用的“错娱” $\mathbf{v}$ 代菖 $\mathbf{y}$. 定理 9 说，当 $\mathbf{v}=\hat{\mathbf{y}}$. 不等式 (3) 导致了一个新的证明: $\hat{\mathbf{y}}$ 不依赖于用于计算它的特定正交基。如果一个不同的正交其 $W$ 被用来构造一个正交投影 $\mathbf{y}$ ，那 么这个投影状将是最近的点 $W$ 至 $\mathbf{y}$ ，即， $\hat{\mathbf{y}}$. 证明采取 $\mathbf{v}$ 在 $W$ 区别于 $\hat{\mathbf{y}}$. 参见图 4。然后 $\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{v}$ 在 $W$. 根据正交分解定理， $\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}$ 正交于 $W$. 尤其是， $\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}$ 正交于 $\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{v}$ (这是 在W)。自从 $$\mathbf{y}-\mathbf{v}=(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}})+(\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{v})$$ 勾股定理哈出 $$|\mathbf{y}-\mathbf{v}|^2=|\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}|^2+|\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{v}|^2$$ (请参见图 4 中的彩色直角三角形。每条边的长度都已标记。) 现在 $|\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{v}|^2>0$ 因为 $\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ ，因此不等式 (3) 柺随其后。

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