Posted on Categories:Number Theory, 数学代写, 数论

avatest™

## avatest™帮您通过考试

avatest™的各个学科专家已帮了学生顺利通过达上千场考试。我们保证您快速准时完成各时长和类型的考试，包括in class、take home、online、proctor。写手整理各样的资源来或按照您学校的资料教您，创造模拟试题，提供所有的问题例子，以保证您在真实考试中取得的通过率是85%以上。如果您有即将到来的每周、季考、期中或期末考试，我们都能帮助您！

•最快12小时交付

•200+ 英语母语导师

•70分以下全额退款

Suppose $p$ and $q$ are both odd primes. If $q$ is a quadratic residue modulo $p$, is $p$ then a quadratic residue modulo $q$ ? The answer is no, but there is a clear relationship of their “quadratic characters” with respect to each other, and that relationship can be concisely stated in the following famous and elegant result.

Theorem 7.6. (The Gaussian Reciprocity Law) If $p$ and $q$ are distinct odd primes,
$$\left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2} \frac{q-1}{2}} .$$
Before proving this result, we simply ask, isn’t this a beautiful result? Let us discuss what, in essence, it tells us about the relationship of $\left(\frac{p}{q}\right)$ and $\left(\frac{q}{p}\right)$ when $p$ and $q$ are distinct odd prime numbers. We know that if an exponent $k$ on $-1$ is even then $(-1)^k=1$; and if $k$ is odd, then $(-1)^k$ is $-1$. Hence the right-hand side of our theorem’s equation above will be $-1$ only if both $(p-1) / 2$ and $(q-1) / 2$ are odd; otherwise the right-hand side is 1 . We can thus conclude the following:
(1) If both $(p-1) / 2$ and $(q-1) / 2$ are odd, then $\left(\frac{q}{p}\right)=-\left(\frac{p}{q}\right)$.
(2) Otherwise, $\left(\frac{q}{p}\right)=\left(\frac{p}{q}\right)$.

## 数学代写|数论代写Number Theory代考|Composite Moduli and the Jacobi Symbol

We shall finish this chapter by briefly considering the theory of quadratic residues and quadratic reciprocity for moduli which are not necessarily prime. We begin with

Definition 7.3. Suppose that $m$ and $n$ are relatively prime integers with $n$ a positive odd number. Suppose that n’s prime factorization is $n=p_1 \cdots p_s$, where the primes $p_i$ are not necessarily distinct. Then the Jacobi symbol $\left(\frac{m}{n}\right)$ is defined by
$$\left(\frac{m}{n}\right)=\prod_{j=1}^s\left(\frac{m}{p_j}\right),$$
where $\left(\frac{m}{p_j}\right)$ is the Legendre symbol.
Two natural questions arise from this definition:
(i) Can the Jacobi symbol $\left(\frac{m}{n}\right)$ be used to determine whether $m$ is a quadratic residue or a quadratic non-residue modulo $n$ ?
(ii) Does the Jacobi symbol satisfy a “generalized quadratic reciprocity?”

The answer to (ii) is “yes” provided that we restrict $m$, like $n$, to be positive and odd. The answer to (i) is also “yes,” but in a somewhat more complicated way than for the Legendre symbol. We now state these results without proof.

## 数论代写

$$\left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2} \frac{q-1}{2}} .$$

(1) 如果两者 $(p-1) / 2$ 和 $(q-1) / 2$ 是奇数，那 $\angle\left(\frac{q}{p}\right)=-\left(\frac{p}{q}\right)$.
(2) 否则， $\left(\frac{q}{p}\right)=\left(\frac{p}{q}\right)$.

## 数学代写数论代写Number Theory代考|Composite Moduli and the Jacobi Symbol

$$\left(\frac{m}{n}\right)=\prod_{j=1}^s\left(\frac{m}{p_j}\right)$$

(i) 雅可比符昊能否 $\left(\frac{m}{n}\right)$ 用于确定是否 $m$ 是二次余数或二次非余数模 $n$ ?
（ii) Jacobi 符昊是否满足“广义二次互易性”?
(ii) 的答案是“是”，前提是我们限制 $m$ ，喜欢 $n$, 是积极的和奇怪的。(i) 的答安也是“是”，但比勒让德符号要复杂一些。我们现在 在没有证据的情况下陈述这些结果。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。