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# AMC代考美国数学竞赛代考American Mathematics Competitions代考|Advanced geometry of the triangle

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AMC美国数学思维活动是一项面向世界中学生的数学竞赛，由美国数学协会MAA主办，目前每年全球超过6000所学校的30万名同学参赛，是全球非常有影响力的青少年数学竞赛之一。AMC的命题由美国AMC委员会全权负责，该委员会成员皆来自MIT、Harvard、Princeton等全美一流学府。

AMC活动不仅促进了数学在全球的交流与发展，而且为国际高校了解入学申请者在数学上的学习成就提供了重要依据。随着同学们对美国数学思维活动AMC的了解，未来将有更多中国学生通过AMC活动走向世界舞台，与全球学生共同探索数学问题，感受数学学习的快乐。

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## AMC代考美国数学竞赛代考American Mathematics Competitions代考|Advanced geometry of the triangle

Here, again, as a tempting appetizer is a typical problem of the kind you should be able to solve when you have worked through this section. You are invited to try it now if you wish. You may find it hard, but by the end of this section it should look much easier to you. The solution is given at the end of the section.

Appetizer Problem: In the figure below, $B X: X C=2: 3$ and $C Y: Y A=$ $1: 2$. If the area of the triangle COY is $a$ and that of $C O X$ is $3 b$ what is the area of the quadrilateral $\mathrm{OXBZ}$ ?
(A) $\frac{9 b}{2}$
(B) $2 a+3 b$
(C) $\frac{5 a}{2}+2 b$
(D) $\frac{3 a}{2}+3 b$
(E) $a+3 b$

The idea of similar figures (similar triangles being a particular example) is a crucial mathematical concept which, as we shall see shortly, is an ‘open sesame’, or golden key, to many useful results.

If, as in the figure, two triangles $P_1 Q_1 R_1, P_2 Q_2 R_2$ have corresponding angles equal, while the sides may have different sizes, they are called similar triangles. It is a basic fact (or axiom) of Euclidean geometry that if triangles $P_1 Q_1 R_1, P_2 Q_2 R_2$ are similar, then corresponding sides are ‘proportional’; that is, they are in a fixed ratio. Thus the only difference between the two triangles is in scale. It follows that
$$\frac{P_1 Q_1}{P_2 Q_2}=\frac{Q_1 R_1}{Q_2 R_2}=\frac{P_1 R_1}{P_2 R_2} .$$

## AMC代考美国数学竞赛代考American Mathematics Competitions代考|Advanced circle geometry

Here are two typical problems of the kind you should be able to solve when you have worked through this section. You are invited to try them as soon as you like. You may find them too hard for now, but by the end of this section they will not look difficult to you. Their solutions are given at the end of the section.

Appetizer Problem 1: In the diagram, $P Q$ is a diameter and $\angle P T Q=\theta$. What is the ratio of the areas: $\frac{\text { Area } \triangle S R T}{\text { Area } \triangle T Q P}$ ?

(A) $\cos ^2 \theta$
(B) $\cos \theta$
(C) $\sin \theta$
(D) $\frac{1}{\cos ^2 \theta}$
(E) $\sin ^2 \theta$

Appetizer Problem 2: In the diagram below $P Q R$ is an equilateral triangle and arc $P Q S R$ is its circumcircle. If $S R=3 \mathrm{~cm}$ and $Q S=2 \mathrm{~cm}$, find $P S$.
(A) $4 \mathrm{~cm}$
(B) $9 \mathrm{~cm}$
(C) $6 \mathrm{~cm}$
(D) $5 \mathrm{~cm}$
(E) $13 \mathrm{~cm}$

## AMC代考美国数学竞赛代考American Mathematics Competitions代 考|Advanced geometry of the triangle

(一个) $\frac{9 b}{2}$
(乙) $2 a+3 b$
(C) $\frac{5 a}{2}+2 b$
(四) $\frac{3 a}{2}+3 b$
(和) $a+3 b$

$$\frac{P_1 Q_1}{P_2 Q_2}=\frac{Q_1 R_1}{Q_2 R_2}=\frac{P_1 R_1}{P_2 R_2} .$$

## AMC代考美国数学竞赛代考American Mathematics Competitions代考|Advanced circle geometry

(一个) $\cos ^2 \theta$
(乙) $\cos \theta$
(C) $\sin \theta$
(四) $\frac{1}{\cos ^2 \theta}$
(和) $\sin ^2 \theta$

(一个) $4 \mathrm{~cm}$
(乙) $9 \mathrm{~cm}$
(C) $6 \mathrm{~cm}$
(四) $5 \mathrm{~cm}$
(和) $13 \mathrm{~cm}$

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。