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# AMC代考美国数学竞赛代考American Mathematics Competitions代考|Euclidean algorithm

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AMC美国数学思维活动是一项面向世界中学生的数学竞赛，由美国数学协会MAA主办，目前每年全球超过6000所学校的30万名同学参赛，是全球非常有影响力的青少年数学竞赛之一。AMC的命题由美国AMC委员会全权负责，该委员会成员皆来自MIT、Harvard、Princeton等全美一流学府。

AMC活动不仅促进了数学在全球的交流与发展，而且为国际高校了解入学申请者在数学上的学习成就提供了重要依据。随着同学们对美国数学思维活动AMC的了解，未来将有更多中国学生通过AMC活动走向世界舞台，与全球学生共同探索数学问题，感受数学学习的快乐。

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## AMC代考美国数学竞赛代考American Mathematics Competitions代考|Euclidean algorithm

Let $0<b \leq a$. By the division algorithm, we have:
$$a=q_1 b+r_1, 0 \leq r_1<b .$$
If $r_1=0$, then $b \mid a$ so that $\operatorname{gcd}(a, b)=b$; if $r_1 \neq 0$ take $b$ and $r_1$ in the division algorithm to obtain
$$b=q_2 r_1+r_2, \quad 0 \leq r_2<r_1 .$$
If $r_2=0$, stop: we have $\operatorname{gcd}(a, b)=r_1$; otherwise, continue this process until the remainder becomes zero. Suppose the zero remainder is obtained after $n+1$ steps, thus:
\begin{aligned} a=& q_1 b+r_1, & & 0<r_1<b, \ b=& q_2 r_1+r_2, & & 0<r_2<r_1, \ r_1=& q_3 r_2+r_3, & & 0<r_3<r_2, \ & \quad \cdots & \cdots \ r_{n-2}=& q_n r_{n-1}+r_n, & 0<r_n<r_{n-1}, \ r_{n-1}=& q_{n+1} r_n+0 . & \end{aligned}
Now $\operatorname{gcd}(a, b)=r_n$.
You can satisfy yourself that $r_n$ really is $\operatorname{gcd}(a, b)$ by checking:
(i) $r_n\left|a, r_n\right| b$. Start with the last equation and move upwards, observing that $r_n \mid r_{n-1}$, hence $r_n \mid r_{n-2}$ (because it divides both terms on RHS), hence $r_n \mid r_{n-2}$, etc.
(ii) Any number that divides both $a$ and $b$ must divide $r_1$ (from first equation $r_1=a-q_1 b$ ), hence must divide $r_2$ (from second equation) hence (eventually) must divide $r_n$.
Now let us use the Euclidean algorithm to find $\operatorname{gcd}(178,312)$ :
Step (i): $312=1 \cdot 178+134$ (of course $0<134<178$ )
Step (ii): $178=1 \cdot 134+44$
Step (iii): $134=3 \cdot 44+2$
Step (iv): $\quad 44=22 \cdot 2+0$

## AMC代考美国数学竞赛代考American Mathematics Competitions代考|Linear Diophantine equations

In this section we will show how to apply the Euclidean algorithm to find a solution for Diophantine equations of the form $a x+b y=\operatorname{gcd}(a, b)$, and then we will show how to get a solution (if one exists) for the more general equation $a x+b y=c$. Finally, we will obtain all solutions of such an equation, included in what we call the general solution.

Example: Consider the question of finding a solution for the equation:
$$178 x+312 y=\operatorname{gcd}(178,312) .$$
The first step is to find $\operatorname{gcd}(178,312)$, using the Euclidean algorithm as above. We see that $\operatorname{gcd}(178,312)=2$. Working backwards now:
$$\begin{array}{rlr} 2 & =134-3 \cdot 44 \quad(\text { from Step (iii)) } \ & =134-3 \cdot(178-1 \cdot 134) \quad & \text { (from Step (ii)) } \ & =4 \cdot 134-3 \cdot 178 & \ & =4 \cdot(312-178)-3 \cdot 178 \quad \quad \text { (from Step (i)) } \ & =4 \cdot 312-7 \cdot 178 . & \end{array}$$
We see that $x=-7$ and $y=4$ is a solution. But is this pair the only solution?

Certainly not! It is easy to see that the extra terms we have inserted in the equation below will cancel out, whatever $t$ is, so that $x=-7+312 t$ and $y=4-178 t$ is a solution, for any integral value of $t$ :
$$178(-7+312 t)+312(4-178 t)=2 .$$
This gives us an infinity of solutions. But does it include all solutions? No! For consider $x=-7+156 t$ and $y=4-89 t$; this gives solution for any $t \in \mathbb{Z}$, testing in the same way, and for $t$ odd we get new solutions. Now we do have all the solutions. Indeed, we call this the general solution. Why we can be sure it includes all possible solutions will become clear below. We will divide our investigation into two parts: finding a particular solution if one exists, and finding the general solution.

## AMC代考美国数学竞赛代考American Mathematics Competitions代考|Euclidean algorithm

$$a=q_1 b+r_1, 0 \leq r_1<b .$$

$$b=q_2 r_1+r_2, \quad 0 \leq r_2<r_1 .$$

$$a=q_1 b+r_1, \quad 0<r_1<b, b=\quad q_2 r_1+r_2, \quad 0<r_2<r_1, r_1=q_3 r_2+r_3, \quad 0<r_3<r_2, \quad q_{n-2} r_{n-1}+r_n, 0<r_n<r_n$$

(i) $r_n\left|a, r_n\right| b$. 从最后一个方程开始向上移动，观眎 $r_n \mid r_{n-1}$ ，因此 $r_n \mid r_{n-2}$ (因为它在 RHS 上划分了这两个术语)，因此 $r_n \mid r_{n-2 \text { 等 }}$
(ii) 任何能同时除以两者的数 $a$ 和 $b$ 必须分开 $r_1$ (从第一个方程 $\left.r_1=a-q_1 b\right)$ ，因此必须除 $r_2$ (来自第二个等式) 因此 (最终) 必 须除以 $r_n$.

## AMC代考美国数学竞赛代考American Mathematics Competitions代考|Linear Diophantine equations

$$178 x+312 y=\operatorname{gcd}(178,312) .$$

$$2=134-3 \cdot 44 \quad(\text { from Step (iii) }) \quad=134-3 \cdot(178-1 \cdot 134) \quad(\text { from Step (ii)) } \quad=4 \cdot 134-3 \cdot 178 \quad=4 \cdot(312-178)-3 \cdot 178$$

$$178(-7+312 t)+312(4-178 t)=2 .$$

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。