AMC美国数学思维活动是一项面向世界中学生的数学竞赛，由美国数学协会MAA主办，目前每年全球超过6000所学校的30万名同学参赛，是全球非常有影响力的青少年数学竞赛之一。AMC的命题由美国AMC委员会全权负责，该委员会成员皆来自MIT、Harvard、Princeton等全美一流学府。
依诺教育推荐五颗星，AMC是美国数学思维活动American Mathematics Competitions的简称。AMC系列活动主要包括美国数学竞赛（AMC8/10/12)、美国数学邀请赛(AIME）、美国数学奥林匹克(USAJMO/USAMO)，其中AMC8主要面向8年级（初二)以下的初中和小学高年级学生；AMC10/12主要面向10年级（高一）和12年级（高三）以下的中学生；AIME主要是面向在AMC10/12中取得优异成绩的学生，是美国数学奥赛USA(J)MO和美国数学奥赛国家队的选拔赛。
AMC活动不仅促进了数学在全球的交流与发展，而且为国际高校了解入学申请者在数学上的学习成就提供了重要依据。随着同学们对美国数学思维活动AMC的了解，未来将有更多中国学生通过AMC活动走向世界舞台，与全球学生共同探索数学问题，感受数学学习的快乐。
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AMC代考美国数学竞赛代考American Mathematics Competitions代考|Euclidean algorithm
Let $0<b \leq a$. By the division algorithm, we have:
$$
a=q_1 b+r_1, 0 \leq r_1<b .
$$
If $r_1=0$, then $b \mid a$ so that $\operatorname{gcd}(a, b)=b$; if $r_1 \neq 0$ take $b$ and $r_1$ in the division algorithm to obtain
$$
b=q_2 r_1+r_2, \quad 0 \leq r_2<r_1 .
$$
If $r_2=0$, stop: we have $\operatorname{gcd}(a, b)=r_1$; otherwise, continue this process until the remainder becomes zero. Suppose the zero remainder is obtained after $n+1$ steps, thus:
$$
\begin{aligned}
a=& q_1 b+r_1, & & 0<r_1<b, \
b=& q_2 r_1+r_2, & & 0<r_2<r_1, \
r_1=& q_3 r_2+r_3, & & 0<r_3<r_2, \
& \quad \cdots & \cdots \
r_{n-2}=& q_n r_{n-1}+r_n, & 0<r_n<r_{n-1}, \
r_{n-1}=& q_{n+1} r_n+0 . &
\end{aligned}
$$
Now $\operatorname{gcd}(a, b)=r_n$.
You can satisfy yourself that $r_n$ really is $\operatorname{gcd}(a, b)$ by checking:
(i) $r_n\left|a, r_n\right| b$. Start with the last equation and move upwards, observing that $r_n \mid r_{n-1}$, hence $r_n \mid r_{n-2}$ (because it divides both terms on RHS), hence $r_n \mid r_{n-2}$, etc.
(ii) Any number that divides both $a$ and $b$ must divide $r_1$ (from first equation $r_1=a-q_1 b$ ), hence must divide $r_2$ (from second equation) hence (eventually) must divide $r_n$.
Now let us use the Euclidean algorithm to find $\operatorname{gcd}(178,312)$ :
Step (i): $312=1 \cdot 178+134$ (of course $0<134<178$ )
Step (ii): $178=1 \cdot 134+44$
Step (iii): $134=3 \cdot 44+2$
Step (iv): $\quad 44=22 \cdot 2+0$
AMC代考美国数学竞赛代考American Mathematics Competitions代考|Linear Diophantine equations
In this section we will show how to apply the Euclidean algorithm to find a solution for Diophantine equations of the form $a x+b y=\operatorname{gcd}(a, b)$, and then we will show how to get a solution (if one exists) for the more general equation $a x+b y=c$. Finally, we will obtain all solutions of such an equation, included in what we call the general solution.
Example: Consider the question of finding a solution for the equation:
$$
178 x+312 y=\operatorname{gcd}(178,312) .
$$
The first step is to find $\operatorname{gcd}(178,312)$, using the Euclidean algorithm as above. We see that $\operatorname{gcd}(178,312)=2$. Working backwards now:
$$
\begin{array}{rlr}
2 & =134-3 \cdot 44 \quad(\text { from Step (iii)) } \
& =134-3 \cdot(178-1 \cdot 134) \quad & \text { (from Step (ii)) } \
& =4 \cdot 134-3 \cdot 178 & \
& =4 \cdot(312-178)-3 \cdot 178 \quad \quad \text { (from Step (i)) } \
& =4 \cdot 312-7 \cdot 178 . &
\end{array}
$$
We see that $x=-7$ and $y=4$ is a solution. But is this pair the only solution?
Certainly not! It is easy to see that the extra terms we have inserted in the equation below will cancel out, whatever $t$ is, so that $x=-7+312 t$ and $y=4-178 t$ is a solution, for any integral value of $t$ :
$$
178(-7+312 t)+312(4-178 t)=2 .
$$
This gives us an infinity of solutions. But does it include all solutions? No! For consider $x=-7+156 t$ and $y=4-89 t$; this gives solution for any $t \in \mathbb{Z}$, testing in the same way, and for $t$ odd we get new solutions. Now we do have all the solutions. Indeed, we call this the general solution. Why we can be sure it includes all possible solutions will become clear below. We will divide our investigation into two parts: finding a particular solution if one exists, and finding the general solution.
美国数学竞赛代考
AMC代考美国数学竞赛代考American Mathematics Competitions代考|Euclidean algorithm
让 $0<b \leq a$. 通过除法算法，我们有:
$$
a=q_1 b+r_1, 0 \leq r_1<b .
$$
如果 $r_1=0$ ，然后 $b \mid a$ 以便 $\operatorname{gcd}(a, b)=b$; 如果 $r_1 \neq 0$ 険 $b$ 和 $r_1$ 在除垒算法中得到
$$
b=q_2 r_1+r_2, \quad 0 \leq r_2<r_1 .
$$
如果 $r_2=0$ ，停止: 我们有 $\operatorname{gcd}(a, b)=r_1$; 否则，继绞这个过程，直到余数变为零。假设零余数是在 $n+1$ 步骤， 因此:
$$
a=q_1 b+r_1, \quad 0<r_1<b, b=\quad q_2 r_1+r_2, \quad 0<r_2<r_1, r_1=q_3 r_2+r_3, \quad 0<r_3<r_2, \quad q_{n-2} r_{n-1}+r_n, 0<r_n<r_n
$$
现在 $\operatorname{gcd}(a, b)=r_n$.
你可以满足自己 $r_n$ 真的是 $\operatorname{gcd}(a, b)$ 通过检囩:
(i) $r_n\left|a, r_n\right| b$. 从最后一个方程开始向上移动，观眎 $r_n \mid r_{n-1}$ ，因此 $r_n \mid r_{n-2}$ (因为它在 RHS 上划分了这两个术语)，因此 $r_n \mid r_{n-2 \text { 等 }}$
(ii) 任何能同时除以两者的数 $a$ 和 $b$ 必须分开 $r_1$ (从第一个方程 $\left.r_1=a-q_1 b\right)$ ，因此必须除 $r_2$ (来自第二个等式) 因此 (最终) 必 须除以 $r_n$.
现在让㧴们使用欧几里得算法找到 $\operatorname{gcd}(178,312)$ :
步骤 $(\mathrm{i}): 312=1 \cdot 178+134$ (当然 $0<134<178)$
步骤 (ii): $178=1 \cdot 134+44$
步骤 (iii): $134=3 \cdot 44+2$
步骤 (iv): $\quad 44=22 \cdot 2+0$
AMC代考美国数学竞赛代考American Mathematics Competitions代考|Linear Diophantine equations
在本节中，我们将展示如何应用欧几里得算法来求解以下形式的舎番图方程 $a x+b y=\operatorname{gcd}(a, b)$ ，然后我们将展示如何获得更
一般方程的解 (如果存在) $a x+b y=c$. 最后，我们将获得这样一个方程的所有解，包括在我们所调的通解中。
示例: 考虑求解方程的问题:
$$
178 x+312 y=\operatorname{gcd}(178,312) .
$$
第一步是寻找 $\operatorname{gcd}(178,312)$ ，使用如上的欧几里得算法。我们看到 $\operatorname{gcd}(178,312)=2$. 现在向后工作:
$$
2=134-3 \cdot 44 \quad(\text { from Step (iii) }) \quad=134-3 \cdot(178-1 \cdot 134) \quad(\text { from Step (ii)) } \quad=4 \cdot 134-3 \cdot 178 \quad=4 \cdot(312-178)-3 \cdot 178
$$
我们看到 $x=-7$ 和 $y=4$ 是一个解决方案。但这对是唯一的解决方茎吗?
当然不是! 很容易看出，我们在下面等式中揷入的额外项将抵消，无论 $t$ 是，所以 $x=-7+312 t$ 和 $y=4-178 t$ 是一个解，对
于任何整数值 $t$ :
$$
178(-7+312 t)+312(4-178 t)=2 .
$$
这给了我们无限的解决方宅。但它包括所有解决方宲吗? 不! 考虑 $x=-7+156 t$ 和 $y=4-89 t$; 这为任何问题提供了解决方
案 $t \in \mathbb{Z}$, 以同样的方式测试，对于 $t$ 奇怪的是，我们得到了新的解决方宴。现在我们确实有所有的解快方宨。事实上，我们称之为
案，则找到特定解决方案，以及找到通用解快方窐。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。