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# 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|MAT322 Sturm-Liouville Problems

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## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Sturm-Liouville Problems

In our previous lectures we have seen that homogeneous boundary value problem (6.1), (32.2) may have nontrivial solutions. If the coefficients of the DE and/or of the boundary conditions depend upon a parameter, then one of the pioneer problems of mathematical physics is to determine the value(s) of the parameter for which such nontrivial solutions exist. These special values of the parameter are called eigenvalues and the corresponding nontrivial solutions are called eigenfunctions. The boundary value problem which consists of the self-adjoint DE
$$\left(p(x) y^{\prime}\right)^{\prime}+q(x) y+\lambda r(x) y=\mathcal{P}_2[y]+\lambda r(x) y=0$$
and the boundary conditions (33.14) is called the Sturm-Liouville problem. In the DE (36.1), $\lambda$ is a parameter, and the functions $q, r \in C(J), p \in$ $C^1(J)$, and $p(x)>0, r(x)>0$ in $J$.

The problem (36.1), (33.14) satisfying the above conditions is said to be a regular Sturm-Liouville problem. Solving such a problem means finding values of $\lambda$ (eigenvalues) and the corresponding nontrivial solutions $\phi_\lambda(x)$ (eigenfunctions). The set of all eigenvalues of a regular problem is called its spectrum.

The computation of eigenvalues and eigenfunctions is illustrated in the following examples.

## 数学代写|常微分方程代考Ordinary Differential Equations代写|Sturm-Liouville Problems

In Lecture 36 we have established several properties of the eigenvalues and eigenfunctions of the regular Sturm-Liouville problem (36.1), (33.14). In all these results the existence of eigenvalues is tacitly assumed. We now state and prove the following important result.

Theorem 37.1. For the regular Sturm-Liouville problem (36.1), (33.14) there exists an infinite number of eigenvalues $\lambda_n, n=1,2, \ldots$ These eigenvalues can be arranged as a monotonic increasing sequence $\lambda_1<\lambda_2<\cdots$ such that $\lambda_n \rightarrow \infty$ as $n \rightarrow \infty$. Further, eigenfunction $\phi_n(x)$ corresponding to the eigenvalue $\lambda_n$ has exactly $(n-1)$ zeros in the open interval $(\alpha, \beta)$.

Proof. We shall establish this result first for the particular problem (36.1),
$$y(\alpha)=y(\beta)=0 .$$
For this, we observe the following:
(i) If eigenvalues of $(36.1),(37.1)$ exist, then these are all real numbers (cf. Theorem 36.4).
(ii) For each fixed $\lambda$ there exists a unique solution $y(x, \lambda)$ of the initial value problem (36.1),
$$y(\alpha, \lambda)=0, \quad y^{\prime}(\alpha, \lambda)=1 .$$
Further, $y(x, \lambda)$ as well as $y^{\prime}(x, \lambda)$ vary continuously with $\lambda$ (cf. Theorem 16.8).
(iii) There exist constants $p, P, q, Q, r$, and $R$ such that for all $x \in$ $[\alpha, \beta], 0 0$ the solution $y(x, \lambda)$ of (36.1), (37.2) oscillates more rapidly than the solution $y_0(x, \lambda)$ of the problem
$$\begin{gathered} \left(P y_0^{\prime}\right)^{\prime}+q y_0+\lambda r y_0=0 \ y_0(\alpha, \lambda)=0, \quad y_0^{\prime}(\alpha, \lambda)=1 \end{gathered}$$
and less rapidly than the solution $y_1(x, \lambda)$ of the problem
$$\begin{gathered} \left(p y_1^{\prime}\right)^{\prime}+Q y_1+\lambda R y_1=0 \ y_1(\alpha, \lambda)=0, \quad y_1^{\prime}(\alpha, \lambda)=1 \end{gathered}$$

(cf. Theorem 31.4). When $\lambda$ is negative, $r$ and $R$ in (37.3) and (37.4) need to be interchanged.

# 常微分方程代写

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$$\left(p(x) y^{\prime}\right)^{\prime}+q(x) y+\lambda r(x) y=\mathcal{P}2[y]+\lambda r(x) y=0$$ 边界条件 (33.14) 称为 Sturm-Liouville 问题。在 $\mathrm{DE}(36.1)$ 中， $\lambda$ 是一个参数，函数q, $r \in C(J), p \in C^1(J)$ ，和 $p(x)>0, r(x)>0$ 在 $J$. 满足上述条件的问题 (36.1)，(33.14) 称为常规 Sturm-Liouville 问题。解这样的问题意味着找到 (特征值) 和相应的非平凡 解 $\phi\lambda(x)$ (特征函数)。一个正则问题的所有特征值的集合称为它的谱。

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$$y(\alpha)=y(\beta)=0 .$$

(i) 如果特征值 $(36.1),(37.1)$ 存在，那么这些都是实数 (参见定理 36.4) 。
(ii) 对于每个固定的 $\lambda$ 存在一个独特的解诀方宴 $y(x, \lambda)$ 初值问题 (36.1)，
$$y(\alpha, \lambda)=0, \quad y^{\prime}(\alpha, \lambda)=1 .$$

(iii) 存在常数 $p, P, q, Q, r$ ，和 $R$ 这样对于所有人 $x \in \mathbb{\$}[$|alpha， |beta], 0 othesolutiony$(\mathrm{x}, \lambda)$of$(36.1),(37.2)$oscillatesmorerapidlythanthesolutiony_0$\mathrm{O} \mathrm{x}$, \ambda)oftheproblem$\left(P y_0^{\prime}\right)^{\prime}+q y_0+\lambda r y_0=0 y_0(\alpha, \lambda)=0, \quad y_0^{\prime}(\alpha, \lambda)=1$andlessrapidlythanthesolutiony_$\mathrm{l}(\mathrm{x}$, \lambda) oftheproblem$\left(p y_1^{\prime}\right)^{\prime}+Q y_1+\lambda R y_1=0 y_1(\alpha, \lambda)=0, \quad y_1^{\prime}(\alpha, \lambda)=1 \
(参见定理 $31.4)$ 。什时候 $\lambda$ 是负数， $r$ 和 $R$ 在 $(37.3)$ 和 (37.4) 中需要互换。

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