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Consider the points $P, Q, R, S$ and $T$ lying on the unit circle above. Observe that the arc-lengths from $S$ to $P$ and from $T$ to $Q$ are equal. Since equal arcs in a circle subtend equal chords, it follows from Pythagoras’ theorem that:
\begin{aligned} \sqrt{\left(\cos \left(s_1+s_2\right)-1\right)^2+\left(\sin \left(s_1+s_2\right)-0\right)^2} \ &=\sqrt{\left(\cos s_2-\cos s_1\right)^2+\left(\sin s_2-\left(-\sin s_1\right)\right)^2}, \ \cos ^2\left(s_1+s_2\right)+\sin ^2\left(s_1+s_2\right) &-2 \cos \left(s_1+s_2\right) \ &=\cos ^2 s_2+\sin ^2 s_2-2 \cos s_1 \cos s_2+\cos ^2 s_1 \ &+\sin ^2 s_1+2 \sin s_1 \sin s_2, \end{aligned}
hence $1-2 \cos \left(s_1+s_2\right)=1-2 \cos s_1 \cos s_2+2 \sin s_1 \sin s_2$, and therefore $\cos \left(s_1+s_2\right)=\cos s_1 \cos s_2-\sin s_1 \sin s_2$.
Thus, for any $A, B \in \mathbb{R}$,
$\cos (A+B)=\cos A \cos B-\sin A \sin B \quad$ Addition Formula $\mathbf{f}(\mathbf{i})$
It follows, by replacing $B$ with $-B$ and using the identities $\cos (-x)=\cos x$, $\sin (-x)=-\sin x$, that:
$\cos (A-B)=\cos A \cos B+\sin A \sin B \quad$ Addition Formula $\mathbf{f}(i i)$
We showed earlier on that $\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin \alpha$. Letting $\alpha=A+B$, we have
$$\cos \left(\frac{\pi}{2}-(A+B)\right)=\sin (A+B)$$
therefore $\sin (A+B)=\cos \left(\left(\frac{\pi}{2}-A\right)-B\right)$
\begin{aligned} &=\cos \left(\frac{\pi}{2}-A\right) \cos B+\sin \left(\frac{\pi}{2}-A\right) \sin B \ &=\sin A \cos B+\cos A \sin B . \end{aligned}

## 滑铁卢数学竞赛代考Waterloo Math Contest代考|Double angle formulas

These are deduced by setting $A=B$ in the addition formulas above: from $f(i)$ $\cos 2 A=\cos ^2 A-\sin ^2 A$ Double Angle Formula d(i)

Now, since $\cos ^2 A+\sin ^2 A=1$,
\begin{aligned} \cos 2 A &=\left(1-\sin ^2 A\right)-\sin ^2 A \ &=1-2 \sin ^2 A . \end{aligned}
Hence $\cos 2 A=1-2 \sin ^2 A \quad$ Double Angle Formula d(ii)
Similarly, we can show:
$\cos 2 A=2 \cos ^2 A-1$ Double Angle Formula d(iii)
from $\mathrm{f}($ iii) $\sin 2 A=2 \sin A \cos A$ Double Angle Formula d(iv)
from $g(i) \quad \tan 2 A=\frac{2 \tan A}{1-\tan ^2 A} \quad$ Double Angle Formula $d(\mathbf{v})$

## 滑铁卢数学竞赛代考

$$\sqrt{\left(\cos \left(s_1+s_2\right)-1\right)^2+\left(\sin \left(s_1+s_2\right)-0\right)^2}=\sqrt{\left(\cos s_2-\cos s_1\right)^2+\left(\sin s_2-\left(-\sin s_1\right)\right)^2}, \cos ^2\left(s_1+s_2\right)+\sin ^2\left(s_1+s_2\right) \quad-2 \cos \left(s_1+s_2\right)=\operatorname{co}$$

$\cos (A+B)=\cos A \cos B-\sin A \sin B$ 加法公式 $f(i)$

$\cos (A-B)=\cos A \cos B+\sin A \sin B \quad$ 加法公式 $f(i i)$

$$\cos \left(\frac{\pi}{2}-(A+B)\right)=\sin (A+B)$$

$$=\cos \left(\frac{\pi}{2}-A\right) \cos B+\sin \left(\frac{\pi}{2}-A\right) \sin B \quad=\sin A \cos B+\cos A \sin B$$

## 滑铁卢数学竞赛代考Waterloo Math Contest代考|Double angle formulas

$$\cos 2 A=\left(1-\sin ^2 A\right)-\sin ^2 A \quad=1-2 \sin ^2 A .$$

$\cos 2 A=2 \cos ^2 A-1$ 双角公式 d(iii)

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。