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# 数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|MATH411 Generators of the additive group

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## 数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Generators of the additive group

Example 13.1. We will find all the generators of $\mathbb{Z}_{12}={0,1,2,3, \ldots, 11}$.

0 is not a generator of $\mathbb{Z}_{12}$, since the sums of 0 ‘s only yield 0 , i.e., $0,0+0,0+0+0$, and so on.

We’ve seen that 1 is a generator of $\mathbb{Z}_{12}$.

2 is not a generator of $\mathbb{Z}_{12}$, since the sums of 2’s only yield $0,2,4,6,8,10$.

3 is not a generator of $\mathbb{Z}_{12}$, since the sums of 3’s only yield $0,3,6,9$.

4 is not a generator of $\mathbb{Z}_{12}$, since the sums of 4 ‘s only yield $0,4,8$.

5 is a generator of $\mathbb{Z}{12}$. Here are the first few sums of 5 ‘s in $\mathbb{Z}{12}$ :
$$5=5,5+5=10,5+5+5=3,5+5+5+5=8, \ldots$$
You’ll complete this list in an exercise at the end of the chapter to show that every element of $\mathbb{Z}_{12}$ can be expressed as a sum of 5’s.

6 is not a generator, since the sums of 6 ‘s only yield 0,6 .

7 is a generator of $\mathbb{Z}{12}$. We can verify this by computing the sums of 7 ‘s, but here’s another approach. Observe that $7=-5$ in $\mathbb{Z}{12}$. Thus, if 5 generates all elements of $\mathbb{Z}{12}$, then 7 would generate the negatives of all elements of $\mathbb{Z}{12}$, which is equal to the set $\mathbb{Z}_{12}$ itself.

8 is not a generator of $\mathbb{Z}_{12}$, since the sums of 8 ‘s only yield $0,8,4$.

9 is not a generator of $\mathbb{Z}_{12}$, since the sums of 9’s only yield $0,9,6,3$.

10 is not a generator of $\mathbb{Z}_{12}$, since the sums of 10 ‘s only yield $0,10,8,6,4,2$.

11 is a generator of $\mathbb{Z}{12}$, because $11=-1$ where 1 is a generator. Therefore, the generators of $\mathbb{Z}{12}$ are $1,5,7$, and 11 . Notice how these are precisely the elements of $\mathbb{Z}_{12}$ that are relatively prime to $12 ;$ i.e., $\operatorname{gcd}(1,12)=\operatorname{gcd}(5,12)=\operatorname{gcd}(7,12)=$ $\operatorname{gcd}(11,12)=1$

## 数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Generators of the multiplicative group

Example 13.4. Consider the group $U_{13}={1,2,3,4, \ldots, 12}$. Since its operation is multiplication, a generator of $U_{13}$ is an element whose products give all the elements in the group. We claim that 2 is a generator. To verify, we multiply 2 by itself (or compute powers of 2) and obtain all the elements of $U_{13}$ :
$$\begin{gathered} 2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=3,2^5=6,2^6=12 \ 2^7=11,2^8=9,2^9=5,2^{10}=10,2^{11}=7,2^{12}=1 . \end{gathered}$$
We also claim that 7 is a generator of $U_{13}$. We can verify this by computing the powers of 7 , but here’s another approach. Observe that $7=2^{-1}$, i.e., 7 is the multiplicative inverse of 2 , since $2 \cdot 7=1$ modulo 13 . Thus, if 2 generates all elements of $U_{13}$, then 7 would generate the multiplicative inverses of all elements of $U_{13}$, which is equal to the set $U_{13}$ itself.
However, 3 is not a generator of $U_{13}$. Taking powers of 3, we find
$$3^1=3,3^2=9,3^3=1,3^4=3,3^5=9,3^6=1, \ldots,$$
so that the powers of 3 only yield $1,3,9$.
Example 13.5. Consider the multiplicative group $U_7={1,2,3,4,5,6}$. We have
$$3^1=3,3^2=2,3^3=6,3^4=4,3^5=5,3^6=1,$$
so that 3 is a generator of $U_7$. Note that $5=3^{-1}$, since $3 \cdot 5=1$ modulo 7 . Thus, 5 is also a generator of $U_7$, which you will verify in an exercise at the end of the chapter.

## 数学代写抽象代数代写Abstract Algebra代考|Generators of the additive group

3 不是生成器 $\mathbb{Z}{12}$ ，因为 3 的唯一收益率之和 $0,3,6,9$. 4 不是生成器 $\mathbb{Z}{12}$, 因为 4 的总和只产生 $0,4,8$.
5 是 $\$ \backslash \operatorname{mathbb}{\mathrm{z}}{12}$的生成器. Herearethe firstfewsumsof51sin$\mid$mathbb${z}{12}$: $$5=5,5+5=10,5+5+5=3,5+5+5+5=8, \ldots$$ You’llcompletethislistinanexerciseattheendofthechaptertoshowthateveryelementof$\backslash$mathbb${\mathrm{z}}$_${12} \$$可以表示为 5 的总和。 6 不是生成器，因为 6 的总和仅产生 0,6。 7是生成器 \mathbb{Z} 12. 我们可以通过计算 7 的总和来验证这一点，但这是另一种方法。请注意 7=-5 在 \mathbb{Z} 12. 因此，如果 5 生成 \mathbb{Z} 12 ， 那么 7 将生成所有元嫊的负数 \mathbb{Z} 12, 等于集合 \mathbb{Z}{12} 本身。 8 不是生成器 \mathbb{Z}{12} ， 因为 8 的总和仅产生 0,8,4. 9 不是生成器 \mathbb{Z}{12} ，因为 9 的唯一收益率之和 0,9,6,3. 10 不是生成器 Z{12} 因为 10 的总和只有收益率 0,10,8,6,4,2. 11 是发电机 \mathbb{Z} 12 ，因为 11=-1 其中 1 是生成器。因此，生成器 \mathbb{Z} 12 是 1,5,7, 和 11 . 注意这些正是 \mathbb{Z}{12} 相对质数 12 ; \mathrm{I} 。 \operatorname{gcd}(1,12)=\operatorname{gcd}(5,12)=\operatorname{gcd}(7,12)=\operatorname{gcd}(11,12)=1 ## 数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Generators of the multiplicative group 我们声称 2 是 个生成器。为了验证，我们将 2 乘以自身 (或计算 2 的唱) 并获得 U{13} :$$
2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=3,2^5=6,2^6=122^7=11,2^8=9,2^9=5,2^{10}=10,2^{11}=7,2^{12}=1 .
$$我们还声称 7 是 U_{13}. 我们可以通过计算 7 的龺来验证这一点，但这是另一种方法。请注意 7=2^{-1} ，即 7 是 2 的乘法逆元，因为 2 \cdot 7=1 模 13 。因此，如果 2 生成 U_{13} ，那么 7 将生成的所有元塐的乘法逆元 U_{13} ，等于焦合 U_{13} 本身。 但是，3 不是 U_{13}. 取 3 的㚙，我们发现$$
3^1=3,3^2=9,3^3=1,3^4=3,3^5=9,3^6=1, \ldots,
$$所以 3 的幕只产生 1,3,9. 例 13.5。考虑乘㳿群 U_7=1,2,3,4,5,6. 我们有$$
3^1=3,3^2=2,3^3=6,3^4=4,3^5=5,3^6=1,


## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。